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19 • La réflectivité des rayons X
Nous conviendrons de considérer que l’air est le milieu 0 et que les strates sont
numérotées de façon croissante à partir de l’air. Il est utile de noter que la quantité k n,y
se conserve à l’interface puisque la condition de conservation n’est rien d’autre que
la transcription de la relation de Snell-Descartes pour la réfraction de la lumière.
À l’interface n, n + 1 d’altitude z n par rapport au substrat, il y a superposition de
l’onde + et de l’onde − et le champ dans le milieu n à l’altitude z n s’écrit donc :
E = (A
+
n e
i knzzn + A
−
n e
−i knzzn )e
−i(vt−knyy)
Pour des raisons de simplification nous poserons par la suite :
u
±
n (z n ) = A
±
n e
±i knzzn
La continuité de la composante tangentielle du champ électrique et la conservation
de k ny conduisent à la relation suivante :
u
+
n (z n ) + u
−
n (z n ) = u
+
n+1 (z n ) + u
−
n+1 (z n )
La même équation peut être obtenue en écrivant la continuité de la composante
normale de l’excitation magnétique.
La composante tangentielle du champ magnétique à l’interface n, n + 1 est aussi
continue. La condition de continuité s’obtient en écrivant la conservation de la dérivée de la fonction u à l’interface, ce qui conduit à l’équation suivante :
k nz
u
+
n (z n ) − u
−
n (z n )
= k n+1z
u
+
n+1 (z n ) − u
−
n+1 (z n )
Les deux équations précédentes peuvent s’écrire de façon matricielle et aboutissent à la matrice de réfraction, R n,n+1 , de l’onde à l’interface (n, n + 1) :
u
+
n (z n )
u
−
n (z n )
=
p n,n+1 m n,n+1
m n,n+1 p n,n+1
u
+
n+1 (z n )
u
−
n+1 (z n )
= R nn+1
u
+
n+1 (z n )
u
−
n+1 (z n )
avec
p n,n+1 =
k n,z + k n+1,z
2k n,z
m n,n+1 =
k n,z − k n+1,z
2k n,z
Nous noterons que la matrice R n,n+1 n’est pas unimodulaire et que son déterminant
est égal à k n+1,z / k n,z .
En outre dans le milieu numéroté n, l’amplitude du champ électrique à l’altitude
z n+1 = z n + h n est liée à l’amplitude du champ à l’altitude z n par
u
+
n (z n )
u
−
n (z n )
=
e
−i knzhn
0
0
e
i knzhn
u
+
n (z n+1 )
u
−
n (z n+1 )
= T n
u
+
n (z n+1 )
u
−
n (z n+1 )
La matrice de passage de l’altitude z n à l’altitude z n + h n constitue la matrice de
translation, T n , dans le milieu d’indice n uniforme
½
.
1. Nous noterons qu’avec les conventions choisies hn est négatif.
19 • La réflectivité des rayons X
Nous conviendrons de considérer que l’air est le milieu 0 et que les strates sont
numérotées de façon croissante à partir de l’air. Il est utile de noter que la quantité k n,y
se conserve à l’interface puisque la condition de conservation n’est rien d’autre que
la transcription de la relation de Snell-Descartes pour la réfraction de la lumière.
À l’interface n, n + 1 d’altitude z n par rapport au substrat, il y a superposition de
l’onde + et de l’onde − et le champ dans le milieu n à l’altitude z n s’écrit donc :
E = (A
+
n e
i knzzn + A
−
n e
−i knzzn )e
−i(vt−knyy)
Pour des raisons de simplification nous poserons par la suite :
u
±
n (z n ) = A
±
n e
±i knzzn
La continuité de la composante tangentielle du champ électrique et la conservation
de k ny conduisent à la relation suivante :
u
+
n (z n ) + u
−
n (z n ) = u
+
n+1 (z n ) + u
−
n+1 (z n )
La même équation peut être obtenue en écrivant la continuité de la composante
normale de l’excitation magnétique.
La composante tangentielle du champ magnétique à l’interface n, n + 1 est aussi
continue. La condition de continuité s’obtient en écrivant la conservation de la dérivée de la fonction u à l’interface, ce qui conduit à l’équation suivante :
k nz
u
+
n (z n ) − u
−
n (z n )
= k n+1z
u
+
n+1 (z n ) − u
−
n+1 (z n )
Les deux équations précédentes peuvent s’écrire de façon matricielle et aboutissent à la matrice de réfraction, R n,n+1 , de l’onde à l’interface (n, n + 1) :
u
+
n (z n )
u
−
n (z n )
=
p n,n+1 m n,n+1
m n,n+1 p n,n+1
u
+
n+1 (z n )
u
−
n+1 (z n )
= R nn+1
u
+
n+1 (z n )
u
−
n+1 (z n )
avec
p n,n+1 =
k n,z + k n+1,z
2k n,z
m n,n+1 =
k n,z − k n+1,z
2k n,z
Nous noterons que la matrice R n,n+1 n’est pas unimodulaire et que son déterminant
est égal à k n+1,z / k n,z .
En outre dans le milieu numéroté n, l’amplitude du champ électrique à l’altitude
z n+1 = z n + h n est liée à l’amplitude du champ à l’altitude z n par
u
+
n (z n )
u
−
n (z n )
=
e
−i knzhn
0
0
e
i knzhn
u
+
n (z n+1 )
u
−
n (z n+1 )
= T n
u
+
n (z n+1 )
u
−
n (z n+1 )
La matrice de passage de l’altitude z n à l’altitude z n + h n constitue la matrice de
translation, T n , dans le milieu d’indice n uniforme
½
.
1. Nous noterons qu’avec les conventions choisies hn est négatif.