10
2 • Les réseaux ponctuels
(a, b, c) et donc au carré du volume de la maille. On en déduit :
V = abc
1 − cos
2 a − cos
2 b − cos
2 g + 2 cos a. cos b. cos g
1
2
´¿µ
On peut aussi considérer l’identité :
a · ·b ∧ c
2 · cos
2 u ≡
a · ·b ∧ c
2
1 − sin
2 u
a · (b ∧ c)
2 = (a, b, c)
2
≡ a
2
· ·b ∧ c
2
− −a ∧ (b ∧ c)
2
et en déduire directement le volume de la maille :
a
2
· ·b ∧ c
2
= a
2 b
2 c
2 sin
2 a = a
2 b
2 c
2
1 − cos
2 a
a ∧ (b ∧ c)
2
=
(a · c) b − (a · b) c
2 = a
2 b
2 c
2 (cos
2 b + cos
2 g − 2 cos a · cos b · cos g)
2.1.4 Plans du réseau direct
Soit le plan
½ d’équation :
h
x
a
+ k
y
b
+
z
c
= 1
´´µ
Pour y = z = 0 ( figure 2.1), on obtient l’intersection A de ce plan avec l’axe Ox. De
la relation (4) on tire :
OA =
a
h
OB =
b
k
OC =
c
et :
AB =
b
k
−
a
h
;
AC =
c
−
a
h
;
BC =
c
−
b
k
´´µ
Dans l’hypothèse d’un réseau cristallin, un plan passant par trois nœuds et donc
contenant une infinité de nœuds est un plan réticulaire. L’ensemble des plans réticulaires parallèles constitue une famille de plans qui contiennent l’ensemble des
nœuds du réseau. Si les points A, B et C sont des nœuds alors :
OA = x = u · a, OB = y = v · b, OC = z = w · c avec u, v, w entiers.
L’équation générale des plans réticulaires d’une famille h, k, l est donc, d’après la
relation (4), de la forme : h · u + k · v + · w = n.
Le premier plan de la famille ne contenant pas l’origine a pour équation :
h · u + k · v + · w = 1
h, k et l sont les inverses des longueurs découpées sur les axes par ce plan.
Chaque nœud du réseau appartenant à un plan réticulaire, il en résulte que pour
un réseau cristallin, h, k et l sont des entiers. Dans la mesure ou ces trois indices
caractérisent la famille de plans réticulaires, il est toujours possible de les choisir
premiers entre eux car on ne distinguera pas les plans parallèles caractérisés par h, k,
l et par H = nh, K = nk, L = nl.
1. Si le contexte ne permet pas la distinction entre la lettre l et le chiffre 1, la lettre l sera notée .
2 • Les réseaux ponctuels
(a, b, c) et donc au carré du volume de la maille. On en déduit :
V = abc
1 − cos
2 a − cos
2 b − cos
2 g + 2 cos a. cos b. cos g
1
2
´¿µ
On peut aussi considérer l’identité :
a · ·b ∧ c
2 · cos
2 u ≡
a · ·b ∧ c
2
1 − sin
2 u
a · (b ∧ c)
2 = (a, b, c)
2
≡ a
2
· ·b ∧ c
2
− −a ∧ (b ∧ c)
2
et en déduire directement le volume de la maille :
a
2
· ·b ∧ c
2
= a
2 b
2 c
2 sin
2 a = a
2 b
2 c
2
1 − cos
2 a
a ∧ (b ∧ c)
2
=
(a · c) b − (a · b) c
2 = a
2 b
2 c
2 (cos
2 b + cos
2 g − 2 cos a · cos b · cos g)
2.1.4 Plans du réseau direct
Soit le plan
½ d’équation :
h
x
a
+ k
y
b
+
z
c
= 1
´´µ
Pour y = z = 0 ( figure 2.1), on obtient l’intersection A de ce plan avec l’axe Ox. De
la relation (4) on tire :
OA =
a
h
OB =
b
k
OC =
c
et :
AB =
b
k
−
a
h
;
AC =
c
−
a
h
;
BC =
c
−
b
k
´´µ
Dans l’hypothèse d’un réseau cristallin, un plan passant par trois nœuds et donc
contenant une infinité de nœuds est un plan réticulaire. L’ensemble des plans réticulaires parallèles constitue une famille de plans qui contiennent l’ensemble des
nœuds du réseau. Si les points A, B et C sont des nœuds alors :
OA = x = u · a, OB = y = v · b, OC = z = w · c avec u, v, w entiers.
L’équation générale des plans réticulaires d’une famille h, k, l est donc, d’après la
relation (4), de la forme : h · u + k · v + · w = n.
Le premier plan de la famille ne contenant pas l’origine a pour équation :
h · u + k · v + · w = 1
h, k et l sont les inverses des longueurs découpées sur les axes par ce plan.
Chaque nœud du réseau appartenant à un plan réticulaire, il en résulte que pour
un réseau cristallin, h, k et l sont des entiers. Dans la mesure ou ces trois indices
caractérisent la famille de plans réticulaires, il est toujours possible de les choisir
premiers entre eux car on ne distinguera pas les plans parallèles caractérisés par h, k,
l et par H = nh, K = nk, L = nl.
1. Si le contexte ne permet pas la distinction entre la lettre l et le chiffre 1, la lettre l sera notée .