2.1 Le réseau direct
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Une maille est dite simple si elle ne possède
des nœuds que sur les sommets du parallélogramme (réseau plan) ou du prisme (réseau à
trois dimensions) correspondant. Une maille
simple est la plus petite entité qui permette de
générer l’ensemble des nœuds par des translations entières de réseau.
S’il existe des nœuds supplémentaires (à
l’intérieur, sur les faces ou les arêtes), la
maille est dite multiple.
Figure 2.2 (en grisé : mailles simples)
Dans un réseau plan, l’aire de toutes les mailles simples est identique. De même
pour un réseau tridimensionnel, le volume d’une maille simple est un invariant qui
correspond au volume offert à chaque nœud.
En notation matricielle, on peut représenter une rangée par :
r = u · a + v · b + w · c = (u, v, w)
⎛
⎜
⎝
a
b
c
⎞
⎟
⎠ = (a, b, c)
⎛
⎜
⎝
u
v
w
⎞
⎟
⎠
Le produit scalaire de deux vecteurs :
r 1 · r 2 = (u 1 · a + v 1 · b + w 1 · c) · (u 2 · a + v 2 · b + w 2 · c)
s’exprime alors sous la forme :
r 1 · r 2 = (u 1 , v 1 , w 1 )
⎛
⎜
⎝
a
2
a · b a · c
a · b b
2
b · c
a · c b · c c
2
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
u 2
v 2
w 2
⎞
⎟
⎠ = (u
T
1 · M · u 2 )
Le vecteur ligne u
T est le transposé du vecteur colonne u et la matrice M représente
un tenseur appelé « tenseur métrique ».
2.1.2 Doubles produits vectoriels
On rappelle les égalités vectorielles suivantes :
a ∧ (b ∧ c) = (a · c)b − (a · b)c (vecteur du plan b, c et normal à a)
´½µ
(a ∧ b) ∧ c = (a · c)b − (b · c)a
(a ∧ b) · (c ∧ d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c)
´¾µ
(a ∧ b) ∧ (c ∧ d) = (a, b, d)c − (a, b, c)d
2.1.3 Volume de la maille
On peut montrer, par exemple en exprimant les vecteurs de base dans un repère
orthonormé, que le déterminant de la matrice M est égal au carré du produit mixte
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Une maille est dite simple si elle ne possède
des nœuds que sur les sommets du parallélogramme (réseau plan) ou du prisme (réseau à
trois dimensions) correspondant. Une maille
simple est la plus petite entité qui permette de
générer l’ensemble des nœuds par des translations entières de réseau.
S’il existe des nœuds supplémentaires (à
l’intérieur, sur les faces ou les arêtes), la
maille est dite multiple.
Figure 2.2 (en grisé : mailles simples)
Dans un réseau plan, l’aire de toutes les mailles simples est identique. De même
pour un réseau tridimensionnel, le volume d’une maille simple est un invariant qui
correspond au volume offert à chaque nœud.
En notation matricielle, on peut représenter une rangée par :
r = u · a + v · b + w · c = (u, v, w)
⎛
⎜
⎝
a
b
c
⎞
⎟
⎠ = (a, b, c)
⎛
⎜
⎝
u
v
w
⎞
⎟
⎠
Le produit scalaire de deux vecteurs :
r 1 · r 2 = (u 1 · a + v 1 · b + w 1 · c) · (u 2 · a + v 2 · b + w 2 · c)
s’exprime alors sous la forme :
r 1 · r 2 = (u 1 , v 1 , w 1 )
⎛
⎜
⎝
a
2
a · b a · c
a · b b
2
b · c
a · c b · c c
2
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
u 2
v 2
w 2
⎞
⎟
⎠ = (u
T
1 · M · u 2 )
Le vecteur ligne u
T est le transposé du vecteur colonne u et la matrice M représente
un tenseur appelé « tenseur métrique ».
2.1.2 Doubles produits vectoriels
On rappelle les égalités vectorielles suivantes :
a ∧ (b ∧ c) = (a · c)b − (a · b)c (vecteur du plan b, c et normal à a)
´½µ
(a ∧ b) ∧ c = (a · c)b − (b · c)a
(a ∧ b) · (c ∧ d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c)
´¾µ
(a ∧ b) ∧ (c ∧ d) = (a, b, d)c − (a, b, c)d
2.1.3 Volume de la maille
On peut montrer, par exemple en exprimant les vecteurs de base dans un repère
orthonormé, que le déterminant de la matrice M est égal au carré du produit mixte