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19 • La réflectivité des rayons X
Comme d est de l’ordre de 10 −5 , l’angle critique de réflexion totale externe est évidemment proche de zéro. Le développement de Taylor à l’ordre 2 de cos u c = 1−u
2
c /2
conduit à : u
2
c = 2d.
À titre d’exemple, pour le silicium d = 10
−5 ce qui conduit à u c = 0, 22 ◦ . L’ordre
de grandeur que nous venons de trouver est valable pour beaucoup de matériaux.
La réflexion totale externe des rayons X n’est donc observée qu’à des faibles angles
d’incidence, généralement u < 0, 5 ◦ .
19.2 RÉFLECTIVITÉ DE FRESNEL
19.2.1 Rappels des relations de Fresnel
À l’interface entre deux milieux de propriétés optiques différentes une onde électromagnétique est réfléchie et transmise en changeant de direction de propagation. Ces
effets, appelés réflexion et réfraction, sont faciles à observer dans le cas de la lumière
visible mais deviennent beaucoup plus difficiles à mettre en évidence comme l’avait
fait remarquer Laue en 1914 dans son discours d’investiture pour l’attribution du prix
Nobel. La raison principale de cette difficulté vient du fait que l’indice de réfraction
de la matière pour les radiations X ne diffère que de très peu de l’unité, si bien que
le faisceau incident est à peine dévié au passage par l’interface. La réfraction peut
même être négligée dès que l’angle d’incidence dépasse 5 ◦ . Pourtant la réfraction
et la réflexion totale externe des rayons X sont d’un intérêt majeur en science des
surfaces car à des angles très faibles le faisceau n’est transmis que dans les quelques
couches atomiques de la surface. Les concepts de bases utiles à la détermination des
coefficients de réflexion et transmission d’une onde électromagnétique à une interface furent développés deux siècles auparavant par Augustin Fresnel, dans sa théorie
mécano-élastique de la lumière. Les relations de Fresnel qui donnent les coefficients
de transmission et de réflexion d’une onde électromagnétique sur un dioptre plan
peuvent être obtenus en écrivant les conditions aux limites du champ électrique et du
champ magnétique à l’interface air-dioptre. L’intensité réfléchie est obtenue en prenant le module du coefficient de réflexion r. Rappelons que les formules de Fresnel
ne sont pas équivalentes selon que l’on considère une onde de polarisation parallèle
ou perpendiculaire au plan d’incidence. Nous considérons une onde électromagnétique plane se propageant dans le plan d’incidence xOz, caractérisée par un champ
électrique incident polarisé selon Oy. L’interface est localisée à la cote z = 0 comme
l’indique la figure 19.5.
Dans chacun des milieux homogènes, la propagation du champ électrique est régie par les équations de Maxwell qui, par combinaison, conduisent à l’équation de
propagation du champ électrique encore appelée équation de Helmoltz, qui s’écrit :
DE + k
2
j E = 0, où k j représente le module du vecteur d’onde de propagation dans le
milieu considéré.
Le champ électrique, solution de l’équation de Helmoltz, s’écrit pour les trois
ondes planes incidente (inc), réfléchie (r) et transmise (tr) : E j = A j e
i ( v t−kj.r) e y ,
19 • La réflectivité des rayons X
Comme d est de l’ordre de 10 −5 , l’angle critique de réflexion totale externe est évidemment proche de zéro. Le développement de Taylor à l’ordre 2 de cos u c = 1−u
2
c /2
conduit à : u
2
c = 2d.
À titre d’exemple, pour le silicium d = 10
−5 ce qui conduit à u c = 0, 22 ◦ . L’ordre
de grandeur que nous venons de trouver est valable pour beaucoup de matériaux.
La réflexion totale externe des rayons X n’est donc observée qu’à des faibles angles
d’incidence, généralement u < 0, 5 ◦ .
19.2 RÉFLECTIVITÉ DE FRESNEL
19.2.1 Rappels des relations de Fresnel
À l’interface entre deux milieux de propriétés optiques différentes une onde électromagnétique est réfléchie et transmise en changeant de direction de propagation. Ces
effets, appelés réflexion et réfraction, sont faciles à observer dans le cas de la lumière
visible mais deviennent beaucoup plus difficiles à mettre en évidence comme l’avait
fait remarquer Laue en 1914 dans son discours d’investiture pour l’attribution du prix
Nobel. La raison principale de cette difficulté vient du fait que l’indice de réfraction
de la matière pour les radiations X ne diffère que de très peu de l’unité, si bien que
le faisceau incident est à peine dévié au passage par l’interface. La réfraction peut
même être négligée dès que l’angle d’incidence dépasse 5 ◦ . Pourtant la réfraction
et la réflexion totale externe des rayons X sont d’un intérêt majeur en science des
surfaces car à des angles très faibles le faisceau n’est transmis que dans les quelques
couches atomiques de la surface. Les concepts de bases utiles à la détermination des
coefficients de réflexion et transmission d’une onde électromagnétique à une interface furent développés deux siècles auparavant par Augustin Fresnel, dans sa théorie
mécano-élastique de la lumière. Les relations de Fresnel qui donnent les coefficients
de transmission et de réflexion d’une onde électromagnétique sur un dioptre plan
peuvent être obtenus en écrivant les conditions aux limites du champ électrique et du
champ magnétique à l’interface air-dioptre. L’intensité réfléchie est obtenue en prenant le module du coefficient de réflexion r. Rappelons que les formules de Fresnel
ne sont pas équivalentes selon que l’on considère une onde de polarisation parallèle
ou perpendiculaire au plan d’incidence. Nous considérons une onde électromagnétique plane se propageant dans le plan d’incidence xOz, caractérisée par un champ
électrique incident polarisé selon Oy. L’interface est localisée à la cote z = 0 comme
l’indique la figure 19.5.
Dans chacun des milieux homogènes, la propagation du champ électrique est régie par les équations de Maxwell qui, par combinaison, conduisent à l’équation de
propagation du champ électrique encore appelée équation de Helmoltz, qui s’écrit :
DE + k
2
j E = 0, où k j représente le module du vecteur d’onde de propagation dans le
milieu considéré.
Le champ électrique, solution de l’équation de Helmoltz, s’écrit pour les trois
ondes planes incidente (inc), réfléchie (r) et transmise (tr) : E j = A j e
i ( v t−kj.r) e y ,