19.1 Introduction
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19.1.2 Indice de réfraction
Le calcul de l’indice de réfraction d’un matériau dans la gamme des longueurs d’onde
des rayons X se fait en utilisant le modèle de l’électron élastiquement lié. Ce modèle
phénoménologique consiste à considérer que les électrons sont liés au noyau par
un ressort de raideur k et que leur mouvement est freiné de façon visqueuse. Les
électrons ayant une masse très faible par rapport aux noyaux sont les seuls à subir
l’influence du champ électromagnétique. L’équation fondamentale de la dynamique
appliquée à un électron s’écrit :
m
d
2 r
dt 2 + h
dr
dt
+ k r = −e E
où E est le champ local vu par l’électron au sein du matériau, h est une constante phénoménologique de friction, k est la constante de raideur. En écrivant que les électrons
suivent les variations temporelles du champ il est possible de déterminer la position r
de l’électron au cours du temps :
r = −
e
m
v 2
0 − v 2
+ i v
h
m
E e
iv t
avec v
2
0 =
k
m
qui représente la pulsation propre des électrons dans leur mouvement.
Il faut savoir que cette valeur est infiniment plus petite que la pulsation des ondes
électromagnétiques X puisque v 0 ≈ 10
15 rad.s −1 v = 1, 2.10
18 rad.s −1 . Il en
résulte que le déplacement de l’électron est donné en négligeant l’amortissement
par : r ≈
e E
m v 2 et que la polarisation du milieu s’écrit :
P = ´ 0 x E = −
r e e
2 E
m v 2
Dans cette expression, r e représente le nombre d’électrons par unité de volume et
x la susceptibilté diélectrique du milieu que l’on peut écrire :
x = ´ r − 1 = −
r e e
2
´ 0 m v 2
L’indice de réfraction n du milieu s’écrit : n =
√ ´ r =
1 + x soit, puisque x est
très petit devant 1 :
n = 1 −
r e e
2
2 ´ 0 m v 2
En faisant apparaître le rayon classique r e de l’électron,
r e =
e
2
4p ´ 0 mc 2 = 2,8.10
−15 m ,
l’indice de réfraction n devient :
n = 1 −
r e l
2
2 p
r e