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18 • Calculs en cristallographie
À un axe d’ordre n correspondent n matrices homogènes (dont la matrice identité).
Exemples de matrices homogènes :
Axe 2 1 / / [001] en (¼, 0, z)
Axe 2 1 / / [010] en (0, y, 0)
Miroir n / / (010) y = ¼
⎛
⎜
⎝
−1
0 0 0
0 −1 0 0
0
0 1 0
½
0 ½ 1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
−1 0
0 0
0 1
0 0
0 0 −1 0
0 ½
0 1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
0 0 0
0 −1 0 0
0
0 1 0
½ ½ ½ 1
⎞
⎟
⎠
18.1.4 Calcul des facteurs de structure
L’expression analytique du facteur de structure qui est :
F S = F hkl =
n
i=1
(f i ) t e
2jp·r i ·S
=
n
i=1
(f i ) t · e
2jp(h·xi+k·yi+l·zi)
sera transformée en F S =A S + i · B S avec :
A S =
n
i=1
(f i ) t ·cos 2p(h·x i +k·y i +l·z i ) ;
B S =
n
i=1
(f i ) t ·sin 2p(h·x i +k·y i +l·z i )
Si g est l’ordre du groupe d’espace du cristal et m le nombre d’atomes du motif,
le nombre total d’atomes dans la maille est N = m · g, si tous les atomes sont en
position générale. Pour tenir compte des atomes en positions particulières, on pose
p j le nombre de positions équivalentes de l’atome j et d j = p j /g.
Si (b
k
ij ) est la 3×3 matrice d’agitation thermique anisotrope de l’atome k, on
pose : l k = (S
T ) · (b
k
ij ) · (S) avec : (S
T ) = hA
∗ + kB
∗ + lC
∗
.
Avec ces conventions, on tire la relation générale :
A S =
m
j=1
d j · f
S
j ·
g
i=1
e
−lk
· cos 2p(h · x i + k · y i + l · z i )
Les valeurs des facteurs de diffusion atomique sont tabulées pour tous les éléments
en fonction de sin u/l. Pour obtenir la valeur de f j pour une valeur particulière du
vecteur S, on procède à une interpolation. Comme ces tables occupent un espace mémoire non négligeable, on préfère souvent représenter la variation de f avec sin u/l
par une somme de gaussiennes : f (sin u) =
n
i=1
a i ·e
−bi
sin 2 u
l 2 +c i et calculer f S à partir de
ces relations. Pour des calculs très précis, on travaille avec n = 4. Il suffit de stocker
12 données pour chaque type d’atome.
La détermination d’une structure par les méthodes numériques suppose des puissances de calcul assez importantes. Par exemple considérons une structure cubique
avec une maille de 4 Å et une résolution souhaitée de 0,05 Å sur la position des
atomes. Il faut déterminer la densité électronique en
4/0,05
3 = 512 000 points ;
18 • Calculs en cristallographie
À un axe d’ordre n correspondent n matrices homogènes (dont la matrice identité).
Exemples de matrices homogènes :
Axe 2 1 / / [001] en (¼, 0, z)
Axe 2 1 / / [010] en (0, y, 0)
Miroir n / / (010) y = ¼
⎛
⎜
⎝
−1
0 0 0
0 −1 0 0
0
0 1 0
½
0 ½ 1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
−1 0
0 0
0 1
0 0
0 0 −1 0
0 ½
0 1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
0 0 0
0 −1 0 0
0
0 1 0
½ ½ ½ 1
⎞
⎟
⎠
18.1.4 Calcul des facteurs de structure
L’expression analytique du facteur de structure qui est :
F S = F hkl =
n
i=1
(f i ) t e
2jp·r i ·S
=
n
i=1
(f i ) t · e
2jp(h·xi+k·yi+l·zi)
sera transformée en F S =A S + i · B S avec :
A S =
n
i=1
(f i ) t ·cos 2p(h·x i +k·y i +l·z i ) ;
B S =
n
i=1
(f i ) t ·sin 2p(h·x i +k·y i +l·z i )
Si g est l’ordre du groupe d’espace du cristal et m le nombre d’atomes du motif,
le nombre total d’atomes dans la maille est N = m · g, si tous les atomes sont en
position générale. Pour tenir compte des atomes en positions particulières, on pose
p j le nombre de positions équivalentes de l’atome j et d j = p j /g.
Si (b
k
ij ) est la 3×3 matrice d’agitation thermique anisotrope de l’atome k, on
pose : l k = (S
T ) · (b
k
ij ) · (S) avec : (S
T ) = hA
∗ + kB
∗ + lC
∗
.
Avec ces conventions, on tire la relation générale :
A S =
m
j=1
d j · f
S
j ·
g
i=1
e
−lk
· cos 2p(h · x i + k · y i + l · z i )
Les valeurs des facteurs de diffusion atomique sont tabulées pour tous les éléments
en fonction de sin u/l. Pour obtenir la valeur de f j pour une valeur particulière du
vecteur S, on procède à une interpolation. Comme ces tables occupent un espace mémoire non négligeable, on préfère souvent représenter la variation de f avec sin u/l
par une somme de gaussiennes : f (sin u) =
n
i=1
a i ·e
−bi
sin 2 u
l 2 +c i et calculer f S à partir de
ces relations. Pour des calculs très précis, on travaille avec n = 4. Il suffit de stocker
12 données pour chaque type d’atome.
La détermination d’une structure par les méthodes numériques suppose des puissances de calcul assez importantes. Par exemple considérons une structure cubique
avec une maille de 4 Å et une résolution souhaitée de 0,05 Å sur la position des
atomes. Il faut déterminer la densité électronique en
4/0,05
3 = 512 000 points ;