18.1 Les notions de base
239
représentent les rotations. Si les axes sont quelconques, il faut utiliser les formules
de Rodrigues (4.1.5) ou les angles d’Euler.
d) Angles d’Euler
On décompose une rotation quelconque en une série de trois rotations.
Soient deux repères orthonormés : I(0, i, j, k) et I (0, i , j , k ). On peut les amener en coïncidence par une succession des trois rotations :
1 – Rotation de w 1 autour de k (i ≡ OT)
2 – Rotation de w 2 autour de OT (k ≡ k )
3 – Rotation de w 3 autour de k (i ≡ i )
Les coordonnées X(x, y, z) et X (x , y , z )
dans les deux repères sont liées par :
X
= R E · X
avec R E qui est la matrice d’Euler :
R E = R
k
w3 · R
i
w2 · R
k
w1
18.1.3 Génération des positions équivalentes
Pour obtenir les coordonnées de tous les atomes de la maille, il suffit de connaître la
position des atomes du motif et d’appliquer les opérations de symétrie des générateurs du groupe.
On peut représenter les opérations de symétrie du groupe par des applications
affines du type :
⎛
⎝
x
1
x
2
x
3
⎞
⎠ =
⎛
⎝
r 11 r 12 r 13
r 21 r 22 r 23
r 31 r 32 r 33
⎞
⎠ ·
⎛
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎠ +
⎛
⎝
t 1
t 2
t 3
⎞
⎠
Les éléments r ij de la matrice représentent une rotation propre ou impropre et les
t i une translation. On utilise également les matrices homogènes (matrices de Seitz).
Ces 4×4 matrices, permettent de calculer les nouvelles coordonnées en fonction des
anciennes, selon la relation :
x
1 , x
2 , x
3 , 1
= (x 1 , x 2 , x 3 , 1) ·
⎛
⎜
⎝
r 11 r 12 r 13 0
r 21 r 22 r 23 0
r 31 r 32 r 33 0
t 1 t 2 t 3 1
⎞
⎟
⎠
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représentent les rotations. Si les axes sont quelconques, il faut utiliser les formules
de Rodrigues (4.1.5) ou les angles d’Euler.
d) Angles d’Euler
On décompose une rotation quelconque en une série de trois rotations.
Soient deux repères orthonormés : I(0, i, j, k) et I (0, i , j , k ). On peut les amener en coïncidence par une succession des trois rotations :
1 – Rotation de w 1 autour de k (i ≡ OT)
2 – Rotation de w 2 autour de OT (k ≡ k )
3 – Rotation de w 3 autour de k (i ≡ i )
Les coordonnées X(x, y, z) et X (x , y , z )
dans les deux repères sont liées par :
X
= R E · X
avec R E qui est la matrice d’Euler :
R E = R
k
w3 · R
i
w2 · R
k
w1
18.1.3 Génération des positions équivalentes
Pour obtenir les coordonnées de tous les atomes de la maille, il suffit de connaître la
position des atomes du motif et d’appliquer les opérations de symétrie des générateurs du groupe.
On peut représenter les opérations de symétrie du groupe par des applications
affines du type :
⎛
⎝
x
1
x
2
x
3
⎞
⎠ =
⎛
⎝
r 11 r 12 r 13
r 21 r 22 r 23
r 31 r 32 r 33
⎞
⎠ ·
⎛
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎠ +
⎛
⎝
t 1
t 2
t 3
⎞
⎠
Les éléments r ij de la matrice représentent une rotation propre ou impropre et les
t i une translation. On utilise également les matrices homogènes (matrices de Seitz).
Ces 4×4 matrices, permettent de calculer les nouvelles coordonnées en fonction des
anciennes, selon la relation :
x
1 , x
2 , x
3 , 1
= (x 1 , x 2 , x 3 , 1) ·
⎛
⎜
⎝
r 11 r 12 r 13 0
r 21 r 22 r 23 0
r 31 r 32 r 33 0
t 1 t 2 t 3 1
⎞
⎟
⎠