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18 • Calculs en cristallographie
18.1.2 Représentation des rotations
Rappel. Les matrices rotation donnent les coordonnées de l’image de l’objet qui a
subi la rotation en fonction de celles de l’objet. Les vecteurs de base restent inchangés.
a) Rotations dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé i, j, k, des rotations d’angle w d’un vecteurr autour
d’axes dirigés selon i, j, k, génèrent des vecteurs t
i
= R
i
w · r, t
j
= R
j
w · r, t
k
= R
k
w · r
avec (les rotations dans le sens trigonométrique sont positives) :
R
i
w =
⎛
⎝
1
0
0
0 cosw − sin w
0 sinw cos w
⎞
⎠
R
j
w =
⎛
⎝
cos w 0 sinw
0
1
0
− sin w 0 cosw
⎞
⎠
R
k
w =
⎛
⎝
cos w − sin w 0
sin w cos w 0
0
0
1
⎞
⎠
Pour les rotations inversions, il faut remplacer les termes égaux à 1 par des −1.
Ces relations ne sont valides que si le repère est orthonormé et que si l’axe de rotation est un vecteur de base.
Si l’axe de la rotation est quelconque, on peut, pour un repère orthonormé, utiliser
l’expression générale de la matrice rotation donnée au paragraphe 4.2.1.
b) Rotation dans le repère du cristal
La manière la plus simple de représenter une rotation d’angle w autour d’une direction OS du cristal (repère A = 0, a, b, c) est de choisir un repère orthonormé
(I = 0, i, j, k) dont le vecteur de base i est parallèle à OS : I = (M) · A.
La rotation autour de i est représentée par la matrice R
i
w . Dans le repère A, cette
rotation sera caractérisée par : R =
M
T
· R
i
w ·
M
T
−1 .
c) Rotations composées
– Autour d’un même axe :
Il suffit de faire le produit des matrices représentatives des rotation (en respectant
l’ordre !)
– Autour d’axes différents :
Si les axes sont orthogonaux, il est possible de faire le produit des matrices R
i
w qui