18.1 Les notions de base
237
La matrice (M) du changement de repère I = (M) · A et son inverse sont respectivement (cf. § 2.6.1) :
(M) =
⎛
⎜
⎜
⎝
1/a
0
0
− cos g/(a · sin g) 1/b · sin g 0
A ∗ · cos b ∗
B ∗ · cos a ∗ C ∗
⎞
⎟
⎟
⎠
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
a
0
0
b · cos g
b · sin g
0
c · cos b −c sin b · cos a ∗ 1/C ∗
⎞
⎟
⎟
⎠ · I = (M
−1 ) · I
Pour la mise en œuvre de cette transformation, il faut tenir compte du caractère
covariant des indices de Miller des plans réticulaires et du caractère contravariant
des indices des rangées.
Soit une rangée OD =u · a + v · b + w · c du réseau direct. Les coordonnées du point
D dans RI sont :
x = u · a + v · b · cos g + w · c · cos b
y = v · b · sin g − w · c · sin b · cos a
∗
z = w · c · sin b · sin a
∗
Soit la rangée réciproque OE : N ∗
hkl = h · A ∗ + k · B ∗ + l · C ∗ . Les coordonnées de
E dans RI sont :
x = h · A
∗
· sin b
∗
· sin g
y = −h · A
∗
· sin b
∗
· cos g + k · B
∗
· sin a
∗
z = h · A
∗
· cos b
∗ + k · B
∗
· cos a
∗ + l · C
∗
Dans RI, la distance entre deux atomes de coordonnées (x 1 , y 1 , z 1 ) et (x 2 , y 2 , z 2 )
est simplement (norme cartésienne) :
D
2
= X
2 + Y
2 + Z
2 avec : X = (x 1 − x 2 ) ; Y = (y 1 − y 2 ) ; Z = (z 1 − z 2 )
f) Réseau trigonal
Pour ce réseau, il est préférable de procéder à la transformation trigonal hexagonal
avant de passer dans RI. On rappelle que les vecteurs de base de la maille hexagonale
s’expriment en fonction de ceux de la maille trigonale par :
⎛
⎝
A
B
C
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1 1 0
0 1 1
1 1 1
⎞
⎠ ·
⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠
S’il est nécessaire d’exprimer les résultats dans le repère trigonal, il suffit d’effectuer les transformations inverses.
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La matrice (M) du changement de repère I = (M) · A et son inverse sont respectivement (cf. § 2.6.1) :
(M) =
⎛
⎜
⎜
⎝
1/a
0
0
− cos g/(a · sin g) 1/b · sin g 0
A ∗ · cos b ∗
B ∗ · cos a ∗ C ∗
⎞
⎟
⎟
⎠
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
a
0
0
b · cos g
b · sin g
0
c · cos b −c sin b · cos a ∗ 1/C ∗
⎞
⎟
⎟
⎠ · I = (M
−1 ) · I
Pour la mise en œuvre de cette transformation, il faut tenir compte du caractère
covariant des indices de Miller des plans réticulaires et du caractère contravariant
des indices des rangées.
Soit une rangée OD =u · a + v · b + w · c du réseau direct. Les coordonnées du point
D dans RI sont :
x = u · a + v · b · cos g + w · c · cos b
y = v · b · sin g − w · c · sin b · cos a
∗
z = w · c · sin b · sin a
∗
Soit la rangée réciproque OE : N ∗
hkl = h · A ∗ + k · B ∗ + l · C ∗ . Les coordonnées de
E dans RI sont :
x = h · A
∗
· sin b
∗
· sin g
y = −h · A
∗
· sin b
∗
· cos g + k · B
∗
· sin a
∗
z = h · A
∗
· cos b
∗ + k · B
∗
· cos a
∗ + l · C
∗
Dans RI, la distance entre deux atomes de coordonnées (x 1 , y 1 , z 1 ) et (x 2 , y 2 , z 2 )
est simplement (norme cartésienne) :
D
2
= X
2 + Y
2 + Z
2 avec : X = (x 1 − x 2 ) ; Y = (y 1 − y 2 ) ; Z = (z 1 − z 2 )
f) Réseau trigonal
Pour ce réseau, il est préférable de procéder à la transformation trigonal hexagonal
avant de passer dans RI. On rappelle que les vecteurs de base de la maille hexagonale
s’expriment en fonction de ceux de la maille trigonale par :
⎛
⎝
A
B
C
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1 1 0
0 1 1
1 1 1
⎞
⎠ ·
⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠
S’il est nécessaire d’exprimer les résultats dans le repère trigonal, il suffit d’effectuer les transformations inverses.