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18 • Calculs en cristallographie
cos a
∗
=
cos g · cos b − cos a
sin g · cos b
cos b
∗
=
cos a · cos g − cos b
sin a · sin g
cos g
∗
=
cos a · cos b − cos g
sin a · sin b
c) Calculs dans les réseaux
Le produit scalaire permet le calcul de la norme des rangées et de l’angle entre
celles-ci. Pour le réseau direct, la norme d’une rangée est la racine carrée du produit scalaire r · r ; l’inverse de cette norme est égal à l’équidistance D ∗
uvw entre les
plans (uvw) ∗ du réseau réciproque auxquels est normale la rangée [uvw].
La norme d’une rangée réciproque est la racine carrée du produit scalaire N ∗
hkl ·N ∗
hkl ;
l’inverse de cette norme est égal à l’équidistance d hkl entre les plans de la famille
(h k l) du réseau direct. Pour déterminer les angles entre des rangées, on fait également appel au produit scalaire. Les distances interatomiques et les angles entre les
liaisons atomiques sont calculés de la même manière.
d) Changements de repère
La description d’une structure dans le repère choisi selon les normes des cristallographes n’est pas toujours la mieux adaptée. Ainsi le physicien qui étudie la transition
entre une phase monoclinique 2/m et une phase tétragonale 4/m,préfère décrire la
phase monoclinique avec l’axe binaire orienté suivant Oz plutôt que selon Oy qui est
le choix conventionnel.
Les changements de repère interviennent de manière fréquente lors des calculs car
on travaille au minimum avec deux repères : celui de la figure de diffraction lié au
laboratoire et celui du cristal (positions des atomes).
Dans le cas général, le repère des vecteurs de base lié au cristal n’est pas orthonormé et n’est donc pas adapté au calcul numérique. Par exemple dans ce repère, la
distance entre deux atomes de coordonnées (x 1 , y 1 , z 1 ) et (x 2 , y 2 , z 2 ) est :
D
2
= X
2 + Y
2 + Z
2 + 2XY cos g + 2YZ cos a + 2XZ cos b
avec : X = a(x 1 − x 2 ); Y = b(y 1 − y 2 ); Z = c(z 1 − z 2 )
Les calculs seront donc conduits dans un repère orthonormé lié au cristal. Il existe
une infinité de manière pour orthogonaliser le repère du cristal mais très souvent, on
utilise le repère « international » noté RI.
e) Repère international
Ce repère orthonormé direct (O, i, j, k) est défini par
¾ :
A =
⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠ I =
⎛
⎝
i
j
k
⎞
⎠ i =
a
a
j =
a ∧ C ∗
a · C ∗ · sin(a, C ∗ )
k =
C ∗
C ∗
2. Il existe une autre définition du RI dans laquelle k est parallèle à c
18 • Calculs en cristallographie
cos a
∗
=
cos g · cos b − cos a
sin g · cos b
cos b
∗
=
cos a · cos g − cos b
sin a · sin g
cos g
∗
=
cos a · cos b − cos g
sin a · sin b
c) Calculs dans les réseaux
Le produit scalaire permet le calcul de la norme des rangées et de l’angle entre
celles-ci. Pour le réseau direct, la norme d’une rangée est la racine carrée du produit scalaire r · r ; l’inverse de cette norme est égal à l’équidistance D ∗
uvw entre les
plans (uvw) ∗ du réseau réciproque auxquels est normale la rangée [uvw].
La norme d’une rangée réciproque est la racine carrée du produit scalaire N ∗
hkl ·N ∗
hkl ;
l’inverse de cette norme est égal à l’équidistance d hkl entre les plans de la famille
(h k l) du réseau direct. Pour déterminer les angles entre des rangées, on fait également appel au produit scalaire. Les distances interatomiques et les angles entre les
liaisons atomiques sont calculés de la même manière.
d) Changements de repère
La description d’une structure dans le repère choisi selon les normes des cristallographes n’est pas toujours la mieux adaptée. Ainsi le physicien qui étudie la transition
entre une phase monoclinique 2/m et une phase tétragonale 4/m,préfère décrire la
phase monoclinique avec l’axe binaire orienté suivant Oz plutôt que selon Oy qui est
le choix conventionnel.
Les changements de repère interviennent de manière fréquente lors des calculs car
on travaille au minimum avec deux repères : celui de la figure de diffraction lié au
laboratoire et celui du cristal (positions des atomes).
Dans le cas général, le repère des vecteurs de base lié au cristal n’est pas orthonormé et n’est donc pas adapté au calcul numérique. Par exemple dans ce repère, la
distance entre deux atomes de coordonnées (x 1 , y 1 , z 1 ) et (x 2 , y 2 , z 2 ) est :
D
2
= X
2 + Y
2 + Z
2 + 2XY cos g + 2YZ cos a + 2XZ cos b
avec : X = a(x 1 − x 2 ); Y = b(y 1 − y 2 ); Z = c(z 1 − z 2 )
Les calculs seront donc conduits dans un repère orthonormé lié au cristal. Il existe
une infinité de manière pour orthogonaliser le repère du cristal mais très souvent, on
utilise le repère « international » noté RI.
e) Repère international
Ce repère orthonormé direct (O, i, j, k) est défini par
¾ :
A =
⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠ I =
⎛
⎝
i
j
k
⎞
⎠ i =
a
a
j =
a ∧ C ∗
a · C ∗ · sin(a, C ∗ )
k =
C ∗
C ∗
2. Il existe une autre définition du RI dans laquelle k est parallèle à c