18.1 Les notions de base
235
Après une présentation rapide des notions de base
½ , nous examinerons le principe
de l’affinement des structures par les techniques de moindres carrés et nous donnerons quelques exemples simples de programmes.
18.1 LES NOTIONS DE BASE
18.1.1 Les repères cristallographiques
a) Réseau direct
Le repère « naturel » est celui des vecteurs de base dans lequel les translations de
réseau sont représentées par des triplets de nombres entiers ou demi entiers. Pour les
mailles de basse symétrie, le choix des vecteurs de base n’est pas unique. Il existe
une maille (dite maille réduite de Niggli) qui permet une description univoque du
réseau. C’est une maille simple construite sur les trois translations de réseau les plus
courtes. Divers programmes permettent de déterminer cette maille.
Les grandeurs caractéristiques du réseau direct sont : a, b, c (longueurs des vecteurs de base) a, b et g (angles entre ces vecteurs) et le volume de la maille :
V = abc
1 − cos
2 a − cos
2 b − cos
2 g + 2 cos a · cos b · cos g
1
2
Dans ce repère, une rangée directe [uvw] est représentée par le vecteur :
n uvw = r = u · a + v · b + w · c
En programmation, on utilise souvent la représentation matricielle des vecteurs :
r = u · a + v · b + w · c = (u, v, w) ·
⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠ = (a, b, c) ·
⎛
⎝
u
v
w
⎞
⎠
La formulation matricielle du produit scalaire est :
r 1 · r 2 = (u 1 , v 1 , w 1 )
⎛
⎝
a
2
a · b a · c
a · b b
2
b · c
a · c b · c c
2
⎞
⎠ ·
⎛
⎝
u 2
v 2
w 2
⎞
⎠ = (u
T
1 · M · u 2 )
b) Réseau réciproque
Les grandeurs caractéristiques du réseau réciproque s’expriment en fonction des
grandeurs directes par les relations suivantes (cf. § 2.2.3) :
A
∗
= A
∗
= b · c · sin a · V
−1 ; B
∗
= a · c · sin b · V
−1 ; C
∗
= a · b · sin g · V
−1
1. Pour une étude étude approfondie des méthodes de programmation en cristallographie, consulter par
exemple les articles de synthèse qui figurent dans les volumes B et C des Tables internationales.
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Après une présentation rapide des notions de base
½ , nous examinerons le principe
de l’affinement des structures par les techniques de moindres carrés et nous donnerons quelques exemples simples de programmes.
18.1 LES NOTIONS DE BASE
18.1.1 Les repères cristallographiques
a) Réseau direct
Le repère « naturel » est celui des vecteurs de base dans lequel les translations de
réseau sont représentées par des triplets de nombres entiers ou demi entiers. Pour les
mailles de basse symétrie, le choix des vecteurs de base n’est pas unique. Il existe
une maille (dite maille réduite de Niggli) qui permet une description univoque du
réseau. C’est une maille simple construite sur les trois translations de réseau les plus
courtes. Divers programmes permettent de déterminer cette maille.
Les grandeurs caractéristiques du réseau direct sont : a, b, c (longueurs des vecteurs de base) a, b et g (angles entre ces vecteurs) et le volume de la maille :
V = abc
1 − cos
2 a − cos
2 b − cos
2 g + 2 cos a · cos b · cos g
1
2
Dans ce repère, une rangée directe [uvw] est représentée par le vecteur :
n uvw = r = u · a + v · b + w · c
En programmation, on utilise souvent la représentation matricielle des vecteurs :
r = u · a + v · b + w · c = (u, v, w) ·
⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠ = (a, b, c) ·
⎛
⎝
u
v
w
⎞
⎠
La formulation matricielle du produit scalaire est :
r 1 · r 2 = (u 1 , v 1 , w 1 )
⎛
⎝
a
2
a · b a · c
a · b b
2
b · c
a · c b · c c
2
⎞
⎠ ·
⎛
⎝
u 2
v 2
w 2
⎞
⎠ = (u
T
1 · M · u 2 )
b) Réseau réciproque
Les grandeurs caractéristiques du réseau réciproque s’expriment en fonction des
grandeurs directes par les relations suivantes (cf. § 2.2.3) :
A
∗
= A
∗
= b · c · sin a · V
−1 ; B
∗
= a · c · sin b · V
−1 ; C
∗
= a · b · sin g · V
−1
1. Pour une étude étude approfondie des méthodes de programmation en cristallographie, consulter par
exemple les articles de synthèse qui figurent dans les volumes B et C des Tables internationales.