17.1 Diffraction par des structures quelconques
223
17.1.3 Intensité diffractée par un objet homogène illimité
Soit un volume V qui contient en moyenne N objets (N est grand). Le volume moyen
offert à un objet est v 0 = V/N. La probabilité de trouver un atome dans le volume
dv, distant de r de l’objet choisi comme origine, est :
dp(r) = p(r) · dv/v 0
p(r) est la fonction de répartition des atomes. Dans un cristal, cette fonction est nulle
si r n’est pas un vecteur de réseau. Dans les substances désordonnées, l’influence
d’un atome n’excède pas quelques distances atomiques, aussi à grande distance les
positions des atomes ne sont pas corrélées et pour r grand, p(r) = 1 ; les fluctuations
de p(r) autour de 1 correspondent à l’ordre à courte distance. Dans la fonction donnant la probabilité de trouver un atome à la distance r de l’atome origine, pour tenir
compte de celui-ci, on peut introduire un pic de Dirac : p(r) = d(r) + p(r)/v 0 .
On peut, pour mettre en évidence la partie variable à courte distance, l’écrire sous
la forme :
p(r) = 1/v 0 + d(r) + (p(r) − 1)/v 0 .
Cette probabilité est liée à la valeur moyenne Pa(r) de la fonction de Patterson ramenée au volume étudié. Dans le calcul de Pa(r), les termes r(u) · dv u , qui contiennent
un atome, valent 1 et les autres sont nuls. L’intégrale se résume à la somme de 1/v 0
termes r(u + r) dont la valeur moyenne est p(r) : Pa(r) = p(r)/v 0 .
La transformée de Fourier de p(r) est :
P(S) = 1 + d(S)/v 0 + 1/v 0 · TrF(p(r) − 1).
Pour un cristal parfait formé de N mailles de volume Vc, la fonction de répartition
est une série de pic de Dirac centrés sur les nœuds du réseau. La transformée de
Fourier s’écrit alors : P(S) =
1
V c
hkl
d(S − N
∗
hkl ).
17.1.4 Intensité diffractée par un objet homogène limité
Soit w(r) une fonction (facteur de forme) égale à 1 à l’intérieur de l’échantillon et
nulle en dehors. Si r(r) est la densité électronique de l’objet illimité, celle de l’objet
limité devient r
(r) = r(r) · w(r). La transformée de Fourier de w(r) est :
F(S) =
w(r) · e
−2jp·S·r
· dv r
La transformée de Fourier de r
(r), qui est l’amplitude diffusée par l’objet limité
est le produit de convolution des transformées de r(r) et de w(r) soit :
A
(S) =
A(S) · F(S − u) · dv u
223
17.1.3 Intensité diffractée par un objet homogène illimité
Soit un volume V qui contient en moyenne N objets (N est grand). Le volume moyen
offert à un objet est v 0 = V/N. La probabilité de trouver un atome dans le volume
dv, distant de r de l’objet choisi comme origine, est :
dp(r) = p(r) · dv/v 0
p(r) est la fonction de répartition des atomes. Dans un cristal, cette fonction est nulle
si r n’est pas un vecteur de réseau. Dans les substances désordonnées, l’influence
d’un atome n’excède pas quelques distances atomiques, aussi à grande distance les
positions des atomes ne sont pas corrélées et pour r grand, p(r) = 1 ; les fluctuations
de p(r) autour de 1 correspondent à l’ordre à courte distance. Dans la fonction donnant la probabilité de trouver un atome à la distance r de l’atome origine, pour tenir
compte de celui-ci, on peut introduire un pic de Dirac : p(r) = d(r) + p(r)/v 0 .
On peut, pour mettre en évidence la partie variable à courte distance, l’écrire sous
la forme :
p(r) = 1/v 0 + d(r) + (p(r) − 1)/v 0 .
Cette probabilité est liée à la valeur moyenne Pa(r) de la fonction de Patterson ramenée au volume étudié. Dans le calcul de Pa(r), les termes r(u) · dv u , qui contiennent
un atome, valent 1 et les autres sont nuls. L’intégrale se résume à la somme de 1/v 0
termes r(u + r) dont la valeur moyenne est p(r) : Pa(r) = p(r)/v 0 .
La transformée de Fourier de p(r) est :
P(S) = 1 + d(S)/v 0 + 1/v 0 · TrF(p(r) − 1).
Pour un cristal parfait formé de N mailles de volume Vc, la fonction de répartition
est une série de pic de Dirac centrés sur les nœuds du réseau. La transformée de
Fourier s’écrit alors : P(S) =
1
V c
hkl
d(S − N
∗
hkl ).
17.1.4 Intensité diffractée par un objet homogène limité
Soit w(r) une fonction (facteur de forme) égale à 1 à l’intérieur de l’échantillon et
nulle en dehors. Si r(r) est la densité électronique de l’objet illimité, celle de l’objet
limité devient r
(r) = r(r) · w(r). La transformée de Fourier de w(r) est :
F(S) =
w(r) · e
−2jp·S·r
· dv r
La transformée de Fourier de r
(r), qui est l’amplitude diffusée par l’objet limité
est le produit de convolution des transformées de r(r) et de w(r) soit :
A
(S) =
A(S) · F(S − u) · dv u