1.4 Les postulats de la cristallographie
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Loi des indices rationnels : Les nombres p, q et r qui caractérisent une face sont des
entiers, petits et premiers entre eux.
Si les trois nombres ne sont pas premiers entre eux, il existe un diviseur commun
n. La face repérée par p
= p/n, q = q/n et r
= r/n est une face parallèle à la face
repérée par p, q et r. Comme on s’intéresse uniquement à l’orientation des faces, on
peut donc imposer la condition de primarité des indices. La conséquence de cette
loi est que le cristal doit être constitué par un empilement tridimensionnel régulier
de parallélépipèdes identiques. Le parallélépipède fondamental est construit sur les
trois vecteurs a, b et c. Cet empilement de cellules élémentaires conduit à la notion
de réseau.
Au niveau microscopique la majorité des faces d’un cristal ont donc une structure
en gradin et ce n’est qu’au niveau macroscopique que les faces sont planes. On peut
aussi noter que cette loi implique celle de la constance des angles.
1.3 LES POSTULATS DE LA CRISTALLOGRAPHIE
La loi des indices rationnels a été formalisée par Bravais sous la forme beaucoup
plus générale suivante :
Postulat de Bravais : Étant donné un point P, quelconque dans un cristal, il existe
dans le milieu, une infinité discrète, illimitée dans les trois directions de l’espace, de
points autour desquels l’arrangement de la matière est le même qu’autour du point
P et ce avec la même orientation.
À la fin du ÜÜÜ
e siècle, ce postulat a été complété et reformulé presque simultanément et de manière indépendante par Schönflies et par Fedorov :
Postulat de Schönflies-Fedorov : Étant donné un point P, quelconque dans un cristal, il existe dans le milieu, une infinité discrète, illimitée dans les trois directions de
l’espace de points, autour desquels l’arrangement de la matière est le même qu’autour du point P ou est une image de cet arrangement.
La différence par rapport au postulat de Bravais est qu’il n’y a plus d’exigence
d’identité d’orientation du paysage autour des points équivalents et que la notion
d’image (symétrie par rapport à un point) est introduite. On est amené à distinguer
les opérations propres qui laissent l’orientation de l’espace inchangée et les opérations impropres qui modifient cette orientation. Les conséquences de ce postulat sont
nombreuses et importantes : l’ensemble des points homologues d’un cristal constitue un réseau spatial périodique caractérisé par trois translations fondamentales. Un
réseau donné est caractérisé par un ensemble d’opérations de symétrie ou de recouvrement qui définissent les déplacements de l’espace laissant globalement ce réseau
invariant. La périodicité du réseau est une contrainte forte qui limite le nombre et
la nature des opérations de symétrie assurant l’invariance du réseau. L’ensemble des
opérations de recouvrement pour un cristal donné, constitue au sens mathématique
un groupe dit « groupe de symétrie de position » ou « groupe d’espace » ou encore
« groupe de Schönflies-Fedorov ».
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Loi des indices rationnels : Les nombres p, q et r qui caractérisent une face sont des
entiers, petits et premiers entre eux.
Si les trois nombres ne sont pas premiers entre eux, il existe un diviseur commun
n. La face repérée par p
= p/n, q = q/n et r
= r/n est une face parallèle à la face
repérée par p, q et r. Comme on s’intéresse uniquement à l’orientation des faces, on
peut donc imposer la condition de primarité des indices. La conséquence de cette
loi est que le cristal doit être constitué par un empilement tridimensionnel régulier
de parallélépipèdes identiques. Le parallélépipède fondamental est construit sur les
trois vecteurs a, b et c. Cet empilement de cellules élémentaires conduit à la notion
de réseau.
Au niveau microscopique la majorité des faces d’un cristal ont donc une structure
en gradin et ce n’est qu’au niveau macroscopique que les faces sont planes. On peut
aussi noter que cette loi implique celle de la constance des angles.
1.3 LES POSTULATS DE LA CRISTALLOGRAPHIE
La loi des indices rationnels a été formalisée par Bravais sous la forme beaucoup
plus générale suivante :
Postulat de Bravais : Étant donné un point P, quelconque dans un cristal, il existe
dans le milieu, une infinité discrète, illimitée dans les trois directions de l’espace, de
points autour desquels l’arrangement de la matière est le même qu’autour du point
P et ce avec la même orientation.
À la fin du ÜÜÜ
e siècle, ce postulat a été complété et reformulé presque simultanément et de manière indépendante par Schönflies et par Fedorov :
Postulat de Schönflies-Fedorov : Étant donné un point P, quelconque dans un cristal, il existe dans le milieu, une infinité discrète, illimitée dans les trois directions de
l’espace de points, autour desquels l’arrangement de la matière est le même qu’autour du point P ou est une image de cet arrangement.
La différence par rapport au postulat de Bravais est qu’il n’y a plus d’exigence
d’identité d’orientation du paysage autour des points équivalents et que la notion
d’image (symétrie par rapport à un point) est introduite. On est amené à distinguer
les opérations propres qui laissent l’orientation de l’espace inchangée et les opérations impropres qui modifient cette orientation. Les conséquences de ce postulat sont
nombreuses et importantes : l’ensemble des points homologues d’un cristal constitue un réseau spatial périodique caractérisé par trois translations fondamentales. Un
réseau donné est caractérisé par un ensemble d’opérations de symétrie ou de recouvrement qui définissent les déplacements de l’espace laissant globalement ce réseau
invariant. La périodicité du réseau est une contrainte forte qui limite le nombre et
la nature des opérations de symétrie assurant l’invariance du réseau. L’ensemble des
opérations de recouvrement pour un cristal donné, constitue au sens mathématique
un groupe dit « groupe de symétrie de position » ou « groupe d’espace » ou encore
« groupe de Schönflies-Fedorov ».