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10 • Diffraction des rayons X
Fourier de r t (r). D’après la relation précédente, r t (r) est un produit de convolution.
Dont sa transformée de Fourier est égale au produit des transformées de Fourier des
fonctions convoluées. La transformée de Fourier de la fonction de probabilité est
appelée facteur de température ou facteur de Debye-Waller.
q(S) =
p(r
) · e
2jp·r
·S
· dr
´½½µ
Si l’on tient compte de l’agitation thermique, le facteur de diffusion atomique f t
qui devra être considéré est donc égal au produit du facteur de diffusion atomique
classique f, qui est la transformée de Fourier de r(r), par la fonction q(S). Si on suppose que le mouvement d’agitation thermique possède la symétrie sphérique, p(r
)
est isotrope et peut être décrite par une fonction gaussienne :
p(r
) = p(r
) =
1
√
2p
1
√
U
· e
−
r 2
2U
U =< r
2 > représente l’écart avec la position d’équilibre.
La transformée de Fourier de p(r
) est aussi une gaussienne :
q(S) = e
−2p
2 ·U·S
2 = e
−8p
2 ·U·
sin 2 u
l 2
= e
−B·
sin 2 u
l 2
´½½µ
B = 8 · p
2 · U est le facteur de température atomique.
L’agitation thermique rend la densité électronique plus diffuse (les plans réticulaires ont une « épaisseur ») et diminue la valeur du facteur de diffusion atomique et
ce d’autant plus que les plans réticulaires sont serrés, c’est-à-dire aux grands angles
de diffraction. À l’ambiante, les valeurs de U sont typiquement de l’ordre de 0,01 à
0,1 Å
2 et pour des vibrations harmoniques U est une fonction sensiblement linéaire
de la température. En général l’agitation thermique est anisotrope. Si l’on admet que
p(r
) est représentée par une gaussienne à trois dimensions, les surfaces d’isoprobabilités de présence sont des ellipsoïdes centrés sur la position moyenne des atomes
du cristal. Le facteur de température qui représente l’ellipsoïde d’agitation thermique
dans le réseau réciproque devient :
q(S) = exp
−2p
2 (U 11 · X ∗2 + U 22 · Y ∗2 + U 33 · Z ∗2 + 2 · U 12 · X ∗ · Y ∗
+ 2 · U 13 · X ∗ · Z ∗ + 2 · U 23 · Y ∗ · Z ∗ )]
Les 6 paramètres U ij définissent les directions et les longueurs des axes de l’ellipsoïde d’agitation thermique.
10.5.2 Facteur de structure
Dans le calcul de l’intensité diffusée par un cristal on a mis en évidence le terme :
F S = A él ·
maille
r(r) · e
j2·p·r·S
· dv r
10 • Diffraction des rayons X
Fourier de r t (r). D’après la relation précédente, r t (r) est un produit de convolution.
Dont sa transformée de Fourier est égale au produit des transformées de Fourier des
fonctions convoluées. La transformée de Fourier de la fonction de probabilité est
appelée facteur de température ou facteur de Debye-Waller.
q(S) =
p(r
) · e
2jp·r
·S
· dr
´½½µ
Si l’on tient compte de l’agitation thermique, le facteur de diffusion atomique f t
qui devra être considéré est donc égal au produit du facteur de diffusion atomique
classique f, qui est la transformée de Fourier de r(r), par la fonction q(S). Si on suppose que le mouvement d’agitation thermique possède la symétrie sphérique, p(r
)
est isotrope et peut être décrite par une fonction gaussienne :
p(r
) = p(r
) =
1
√
2p
1
√
U
· e
−
r 2
2U
U =< r
2 > représente l’écart avec la position d’équilibre.
La transformée de Fourier de p(r
) est aussi une gaussienne :
q(S) = e
−2p
2 ·U·S
2 = e
−8p
2 ·U·
sin 2 u
l 2
= e
−B·
sin 2 u
l 2
´½½µ
B = 8 · p
2 · U est le facteur de température atomique.
L’agitation thermique rend la densité électronique plus diffuse (les plans réticulaires ont une « épaisseur ») et diminue la valeur du facteur de diffusion atomique et
ce d’autant plus que les plans réticulaires sont serrés, c’est-à-dire aux grands angles
de diffraction. À l’ambiante, les valeurs de U sont typiquement de l’ordre de 0,01 à
0,1 Å
2 et pour des vibrations harmoniques U est une fonction sensiblement linéaire
de la température. En général l’agitation thermique est anisotrope. Si l’on admet que
p(r
) est représentée par une gaussienne à trois dimensions, les surfaces d’isoprobabilités de présence sont des ellipsoïdes centrés sur la position moyenne des atomes
du cristal. Le facteur de température qui représente l’ellipsoïde d’agitation thermique
dans le réseau réciproque devient :
q(S) = exp
−2p
2 (U 11 · X ∗2 + U 22 · Y ∗2 + U 33 · Z ∗2 + 2 · U 12 · X ∗ · Y ∗
+ 2 · U 13 · X ∗ · Z ∗ + 2 · U 23 · Y ∗ · Z ∗ )]
Les 6 paramètres U ij définissent les directions et les longueurs des axes de l’ellipsoïde d’agitation thermique.
10.5.2 Facteur de structure
Dans le calcul de l’intensité diffusée par un cristal on a mis en évidence le terme :
F S = A él ·
maille
r(r) · e
j2·p·r·S
· dv r