7.6 Construction des groupes d’espace
93
L’étude peut être conduite en deux étapes :
• On envisage, pour chacune des 32 classes, l’effet des translations liées aux
modes de réseau pour chacun des modes de réseau du système auquel appartient
la classe. On obtient ainsi les 73 groupes symmorphiques qui sont donc générés
uniquement à partir d’éléments de symétrie simples
¾
.
• On recommence ensuite l’étude en remplaçant systématiquement chaque élément de symétrie simple du groupe par tous les éléments de symétrie translatoire
dérivés, en tenant compte à nouveau des modes de réseau possibles.
Par exemple, pour obtenir tous les groupes dérivés de la classe mmm, on doit étudier
les modes P, A, B, C, I, et F. Puis, pour chaque mode, on peut remplacer le premier
miroir m par m, b, c ou n, le second par m, a, c ou n et le troisième par m, a, b ou n
(on ne peut trouver un miroir de type a normal à Ox...). Si le réseau est F, il faut aussi
envisager les miroirs d.
Les groupes ainsi obtenus ne sont pas tous distincts car la combinaison d’éléments
de symétrie différents peut donner le même groupe d’espace.
À titre d’exemple, on va déterminer quels sont les groupes d’espace dérivés de la
classe monoclinique « 2 », en déduisant les éléments de symétrie des groupes à partir
des positions équivalentes d’un objet de la maille.
7.6.1 Groupes d’espace dérivés de la classe 2
Pour cette classe, on doit envisager a priori les groupes P2, P2 1 , C2 et C2 1 .
Les projections sont faites sur le plan (001) et la direction de l’axe binaire est
[010]. La position de l’origine étant arbitraire dans un réseau, sera prise ici sur l’axe
binaire.
Si la rangée [010] est un axe binaire, toutes les rangées parallèles sont aussi des
axes binaires : il passe des axes binaires par x = 1, z = 0 ; x = 0, z = 1 ; x = 1,
z = 1...
7.6.2 Groupe P2
On considère l’atome (1) situé à la cote
+z qui est en position générale (il n’est
pas situé sur un élément de symétrie).
Son image (2 ) donnée par l’axe binaire est à la cote −z. L’atome (2) déduit
de (2 ) par la translation de réseau a est
équivalent à l’atome (1). On transforme
(1) en (2) par un axe binaire passant par
x = ½, z = 0.
2. Ces groupes peuvent néanmoins contenir des éléments de symétrie translatoire.
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L’étude peut être conduite en deux étapes :
• On envisage, pour chacune des 32 classes, l’effet des translations liées aux
modes de réseau pour chacun des modes de réseau du système auquel appartient
la classe. On obtient ainsi les 73 groupes symmorphiques qui sont donc générés
uniquement à partir d’éléments de symétrie simples
¾
.
• On recommence ensuite l’étude en remplaçant systématiquement chaque élément de symétrie simple du groupe par tous les éléments de symétrie translatoire
dérivés, en tenant compte à nouveau des modes de réseau possibles.
Par exemple, pour obtenir tous les groupes dérivés de la classe mmm, on doit étudier
les modes P, A, B, C, I, et F. Puis, pour chaque mode, on peut remplacer le premier
miroir m par m, b, c ou n, le second par m, a, c ou n et le troisième par m, a, b ou n
(on ne peut trouver un miroir de type a normal à Ox...). Si le réseau est F, il faut aussi
envisager les miroirs d.
Les groupes ainsi obtenus ne sont pas tous distincts car la combinaison d’éléments
de symétrie différents peut donner le même groupe d’espace.
À titre d’exemple, on va déterminer quels sont les groupes d’espace dérivés de la
classe monoclinique « 2 », en déduisant les éléments de symétrie des groupes à partir
des positions équivalentes d’un objet de la maille.
7.6.1 Groupes d’espace dérivés de la classe 2
Pour cette classe, on doit envisager a priori les groupes P2, P2 1 , C2 et C2 1 .
Les projections sont faites sur le plan (001) et la direction de l’axe binaire est
[010]. La position de l’origine étant arbitraire dans un réseau, sera prise ici sur l’axe
binaire.
Si la rangée [010] est un axe binaire, toutes les rangées parallèles sont aussi des
axes binaires : il passe des axes binaires par x = 1, z = 0 ; x = 0, z = 1 ; x = 1,
z = 1...
7.6.2 Groupe P2
On considère l’atome (1) situé à la cote
+z qui est en position générale (il n’est
pas situé sur un élément de symétrie).
Son image (2 ) donnée par l’axe binaire est à la cote −z. L’atome (2) déduit
de (2 ) par la translation de réseau a est
équivalent à l’atome (1). On transforme
(1) en (2) par un axe binaire passant par
x = ½, z = 0.
2. Ces groupes peuvent néanmoins contenir des éléments de symétrie translatoire.