7.3 Axes hélicoïdaux des groupes d’espace cristallins
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Considérons un axe de symétrie d’ordre n, parallèle à l’axe Oz, qui est caractérisé
par la translation de réseau de vecteur c. [R] est une somme de matrices R
p .
R
P
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
cos
2pp
n
− sin
2pp
n
0
sin
2pp
n
cos
2pp
n
0
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
On pose :
S =
n
p=1
e
2jpp
n
= e
2jp
n + e
4jp
n + · · · + e
2jpn
n
Or :
S · e
2jp
n = e
4jp
n + e
6jp
n + · · · + e
2jpn
n + e
2jp
n = S
Donc :
S · e
2jp
n = S , S · (e
2jp
n − 1) = 0 ⇒ S = 0 (si n = 1)
Un calcul analogue avec S
†
, complexe conjugué de S, conduit à S
†
= 0.
Dans la matrice représentative de l’opérateur [R], les sommes des n cosinus et des n
sinus sont nulles :
[R] =
⎛
⎜
⎝
0 0 0
0 0 0
0 0 n
⎞
⎟
⎠
La translation t est un vecteur parallèle à l’axe de rotation et T est une translation de
réseau égale à m · c (m entier). La relation [R] · t = T devient :
[R] · t =
⎛
⎜
⎝
0 0 0
0 0 0
0 0 n
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
0
0
t
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
0
0
mc
⎞
⎟
⎠ ⇒ n · t = m · c
Les valeurs possibles des vecteurs t sont telles que :
t =
m
n
c
On peut imposer m < n car, par hypothèse, on ne distingue pas deux translations
entières de réseau.
On peut maintenant effectuer le dénombrement des axes hélicoïdaux compatibles
avec les propriétés de symétrie des réseaux. Suivant les conventions des tables internationales, on représente les axes principaux du groupe étudié perpendiculairement
au plan de projection qui est par convention le plan (001). Pour les axes binaires,
on doit envisager également la représentation d’axes parallèles au plan de projection. Les symboles graphiques utilisés pour représenter les axes de rotation sur les
projections sont ceux des Tables internationales.