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7 • Groupes d’espace
Si l’axe est un axe d’ordre n, alors (R, t)
n
= (E, [R] · t) doit être une translation de
réseau T.
Les translations t des opérations (R, t) des groupes d’espace des cristaux doivent
satisfaire la condition : [R] · t = T.
Si T doit être une translation de réseau, t n’en est pas nécessairement une.
7.2 ÉLÉMENTS DE SYMÉTRIE DES GROUPES D’ESPACE
À l’ensemble des opérations de symétrie d’orientation des groupes ponctuels, il faut
ajouter les opérations qui résultent de leur produit par les translations. Les lois générales de composition des rotations par les translations ayant déjà été établies, rappelons simplement les résultats de cette étude.
Soit une opération de symétrie caractérisée dans un certain repère par (R, t) et un
nouveau repère défini par une translation de vecteur S, de l’origine du repère initial.
Dans le nouveau repère, l’opération est caractérisée par :
(R
, t
) = (R, R · S − S + t)
S’il est possible d’annuler, par un choix convenable du vecteur S, la partie translatoire
de l’opération, on retrouve une opération de symétrie d’orientation sinon on induit
une nouvelle opération de symétrie.
• Le produit d’une rotation propre d’axe u par une translation t parallèle à u est un
vissage ou axe hélicoïdal.
• Le produit d’une rotation propre d’axe u par une translation t perpendiculaire à u
est une rotation propre de même angle autour d’un axe situé sur la médiatrice de t.
• Le produit d’une rotation impropre d’axe u par une translation t parallèle à u est
une rotation impropre dont le centre d’inversion est translaté sur l’axe du vecteur t/2.
• Le produit d’un miroir par une translation t parallèle au plan du miroir est un
miroir avec glissement.
Dans le dénombrement des groupes d’espace cristallins il faut également tenir
compte des contraintes imposées par la relation [R]·t = T qui résulte de la périodicité
du réseau.
7.3 AXES HÉLICOÏDAUX
DES GROUPES D’ESPACE CRISTALLINS
7.3.1 Translations permises
Pour un axe d’ordre n, on doit avoir [R] · t = T avec : [R] =
n
p=1
R
p
, R
n
= E
7 • Groupes d’espace
Si l’axe est un axe d’ordre n, alors (R, t)
n
= (E, [R] · t) doit être une translation de
réseau T.
Les translations t des opérations (R, t) des groupes d’espace des cristaux doivent
satisfaire la condition : [R] · t = T.
Si T doit être une translation de réseau, t n’en est pas nécessairement une.
7.2 ÉLÉMENTS DE SYMÉTRIE DES GROUPES D’ESPACE
À l’ensemble des opérations de symétrie d’orientation des groupes ponctuels, il faut
ajouter les opérations qui résultent de leur produit par les translations. Les lois générales de composition des rotations par les translations ayant déjà été établies, rappelons simplement les résultats de cette étude.
Soit une opération de symétrie caractérisée dans un certain repère par (R, t) et un
nouveau repère défini par une translation de vecteur S, de l’origine du repère initial.
Dans le nouveau repère, l’opération est caractérisée par :
(R
, t
) = (R, R · S − S + t)
S’il est possible d’annuler, par un choix convenable du vecteur S, la partie translatoire
de l’opération, on retrouve une opération de symétrie d’orientation sinon on induit
une nouvelle opération de symétrie.
• Le produit d’une rotation propre d’axe u par une translation t parallèle à u est un
vissage ou axe hélicoïdal.
• Le produit d’une rotation propre d’axe u par une translation t perpendiculaire à u
est une rotation propre de même angle autour d’un axe situé sur la médiatrice de t.
• Le produit d’une rotation impropre d’axe u par une translation t parallèle à u est
une rotation impropre dont le centre d’inversion est translaté sur l’axe du vecteur t/2.
• Le produit d’un miroir par une translation t parallèle au plan du miroir est un
miroir avec glissement.
Dans le dénombrement des groupes d’espace cristallins il faut également tenir
compte des contraintes imposées par la relation [R]·t = T qui résulte de la périodicité
du réseau.
7.3 AXES HÉLICOÏDAUX
DES GROUPES D’ESPACE CRISTALLINS
7.3.1 Translations permises
Pour un axe d’ordre n, on doit avoir [R] · t = T avec : [R] =
n
p=1
R
p
, R
n
= E