7.1 Groupe d’espace d’un cristal
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7.1.1 Propriétés du groupe
• Il existe une loi de composition interne : (R
, t
) · (R, t)
(R , t ) · (R, t) · X = (R , t ) · (R · X + t) = R (R · X + t) + t = R · R · X + R · t + t
(R , t ) · (R, t) = (R · R, R · t + t )
• La loi est associative.
• Il existe un élément neutre (E, 0).
• Il existe un inverse pour tous les éléments :
Supposons que (R
, t
) = (R, t)
−1 donc : (R
, t
)·(R, t) = (E, 0) = (R
·R, R
·t + t
)
L’inverse existe si :
R
· R = E soit R
= R
−1 et si : R
· t + t
= 0 ou t
= −R
· t = −R
−1
· t
(R, t)
−1
= (R
−1
, −R
−1
· t)
L’ensemble G E = {(R, t)} constitue un groupe infini non commutatif.
7.1.2 Groupe ponctuel associé
Si G E = {(R, t)} est un groupe d’espace, le groupe ponctuel associé est le sousgroupe de G E :
G P = {(R, 0)}
7.1.3 Groupes d’espace cristallins
La périodicité du réseau cristallin impose des restrictions aux opérations de symétrie
permises dans les groupes d’espace.
a) Restriction sur les rotations
Si le groupe d’espace est un groupe cristallin, le groupe ponctuel associé est un
groupe ponctuel cristallin qui ne contient donc que des axes d’ordre 1, 2, 3, 4 et 6.
Les seules rotations possibles dans les groupes d’espace cristallins sont également
les rotations d’ordre 1, 2, 3, 4 et 6.
b) Restrictions sur les translations
Soit (R, t) une opération de G E .
(R, t)
2
= (R
2
, R · t + t)
(R, t)
3
= (R
3
, R
2
· t + R · t + t)
(R, t)
m
= (R
m
, R
m−1
· t + R
m−2
· t + · · · + R · t + E · t) = (R
m
, [R] · t)
[R] = R
m−1 + R
m−2 + · · · + R + E