Chapitre 3 • Mécanique terrestre et céleste
À retenir
Lorsque des référentiels sont en mouvement les uns par rapport aux autres, il y
a alors composition des vitesses et des accélérations. Dans le référentiel R fixe
(absolu), on parle de vitesse et accélération absolues ( #–
va, #– aa). Dans le référentiel R ’
mobile (relatif), on parle de vitesse et d’accélération relatives ( #–
vr, #– ar). On définit les
relations suivantes :
#– va = #–
vr + #–
ve
et
#– aa = #– ar + #– ae + #– ac
#–
ve et #– ae sont respectivement la vitesse et l’accélération d’entraînement : ces grandeurs définissent le mouvement du référentiel R ’ par rapport au référentiel R .
#– ac est une accélération complémentaire dite de Coriolis qui apparaît pour les corps
déjà en mouvement dans le référentiel R ’. Dans un référentiel non galiléen apparaissent donc des forces dites d’inertie ou de référentiels :
#–
f ie = −m · #– ae (force
d’inertie d’entraînement) et
#–
f ic = −m · #– ac (force d’inertie de Coriolis) ; ces forces
sont à l’origine de nombreux phénomènes naturels se produisant sur Terre.
Le cas important des mouvements à force centrale concerne la force de gravitation
(exercée par le Soleil) qui est à l’origine des mouvements des planètes. Les lois de
Kepler permettent de décrire ces mouvements, en déterminant notamment leurs
trajectoires (elliptiques) et leurs périodes de révolution.
Exercices
Les solutions sont regroupées p. 596.
3.1 Un manège d’enfant tourne à vitesse angulaire constante v. Le propriétaire
parcourt la plateforme pour ramasser les billets. On considère deux référentiels : le référentiel R lié à la Terre, de base (O, #– u x , #– u y , #– u z ), et le référentiel R ’ lié au manège, de
base (O, #– u
′
x , #– u
′
y , #– u
′
z ) : #– u z confondu avec #– u
′
z . À t = 0, les axes #– u x et #– u
′
x sont confondus.
À l’instant t, #– u
′
x fait un angle u(t) avec #– u x . Le manège tourne dans un sens tel que u(t)
augmente avec le temps (dans le sens trigonométrique). On a donc la relation suivante :
u(t) = vt.
a) Tout d’abord, le propriétaire partant du centre à t = 0, suit un rayon de la plateforme
avec un mouvement uniforme de vitesse v R .
i. Établir l’équation de la trajectoire du propriétaire :
– dans le référentiel R ’ lié au manège (trajectoire vue par les enfants sur le manège)
– dans le référentiel R lié à la Terre (trajectoire vue par les parents attendant les
enfants)
ii. Retrouver la vitesse absolue du mouvement de l’homme (dans R ).
– à partir de la position
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 86 — #96
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À retenir
Lorsque des référentiels sont en mouvement les uns par rapport aux autres, il y
a alors composition des vitesses et des accélérations. Dans le référentiel R fixe
(absolu), on parle de vitesse et accélération absolues ( #–
va, #– aa). Dans le référentiel R ’
mobile (relatif), on parle de vitesse et d’accélération relatives ( #–
vr, #– ar). On définit les
relations suivantes :
#– va = #–
vr + #–
ve
et
#– aa = #– ar + #– ae + #– ac
#–
ve et #– ae sont respectivement la vitesse et l’accélération d’entraînement : ces grandeurs définissent le mouvement du référentiel R ’ par rapport au référentiel R .
#– ac est une accélération complémentaire dite de Coriolis qui apparaît pour les corps
déjà en mouvement dans le référentiel R ’. Dans un référentiel non galiléen apparaissent donc des forces dites d’inertie ou de référentiels :
#–
f ie = −m · #– ae (force
d’inertie d’entraînement) et
#–
f ic = −m · #– ac (force d’inertie de Coriolis) ; ces forces
sont à l’origine de nombreux phénomènes naturels se produisant sur Terre.
Le cas important des mouvements à force centrale concerne la force de gravitation
(exercée par le Soleil) qui est à l’origine des mouvements des planètes. Les lois de
Kepler permettent de décrire ces mouvements, en déterminant notamment leurs
trajectoires (elliptiques) et leurs périodes de révolution.
Exercices
Les solutions sont regroupées p. 596.
3.1 Un manège d’enfant tourne à vitesse angulaire constante v. Le propriétaire
parcourt la plateforme pour ramasser les billets. On considère deux référentiels : le référentiel R lié à la Terre, de base (O, #– u x , #– u y , #– u z ), et le référentiel R ’ lié au manège, de
base (O, #– u
′
x , #– u
′
y , #– u
′
z ) : #– u z confondu avec #– u
′
z . À t = 0, les axes #– u x et #– u
′
x sont confondus.
À l’instant t, #– u
′
x fait un angle u(t) avec #– u x . Le manège tourne dans un sens tel que u(t)
augmente avec le temps (dans le sens trigonométrique). On a donc la relation suivante :
u(t) = vt.
a) Tout d’abord, le propriétaire partant du centre à t = 0, suit un rayon de la plateforme
avec un mouvement uniforme de vitesse v R .
i. Établir l’équation de la trajectoire du propriétaire :
– dans le référentiel R ’ lié au manège (trajectoire vue par les enfants sur le manège)
– dans le référentiel R lié à la Terre (trajectoire vue par les parents attendant les
enfants)
ii. Retrouver la vitesse absolue du mouvement de l’homme (dans R ).
– à partir de la position
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