3.3. Théorème du moment cinétique
Remarque
Suivant la valeur de l’excentricité e, les trajectoires décrites par r(u) sont soit des
hyperboles (e > 1), des paraboles (e = 1) ou des ellipses (0 e < 1). Dans le cas des
planètes en interaction gravitationnelle avec le Soleil, les paramètres A et C de la
conique sont tels que l’orbite des planètes correspond à des ellipses dont un des
foyers est occupé par le Soleil.
x
Planète
Soleil
S
M
a
b
u ρ
u θ
x
Figure 3.8 Trajectoire elliptique d’une planète autour du Soleil
À noter aussi que l’énergie mécanique peut aussi s’écrire en fonction du paramètre
p et de l’excentricité e : Em =
G · m · m 0
2p
e
2
− 1
. On constate que Em est du signe
de
e
2
− 1
. Ainsi selon le signe de Em, on a les différents types de trajectoires :
hyperbole pour Em > 0, parabole pour Em = 0, ellipse pour Em < 0.
Deuxième loi de Kepler (loi des aires)
Le rayon vecteur
Pour la
démonstration
voir p.85
ayant le Soleil pour origine, balaie des surfaces égales pendant
des intervalles de temps égaux.
Troisième loi de Kepler
Le carré de la période de révolution T d’une planète autour du soleil est proportionnel au cube du demi grand axe de son orbite.
L’énoncé de la troisième
Voir site
web pour
la
démonstration
loi de Kepler donne la relation suivante :
a
3
T 2 =
G · M S
4p 2 où
a est le demi grand axe de l’ellipse, T la période de révolution, M S la masse du Soleil,
G la constante de gravitation.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
85
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 85 — #95
i
i
i
i