3.3. Théorème du moment cinétique
Surface
Angle polaire correspondant
surface d’un disque de rayon r(t) :
p · [r(t)]
2 = p · r
2
2p
surface délimitée par les points O, M(t) et M(t + Dt)
(Fig. 3.6) :
DS
Du
On peut alors écrire la relation suivante :
DS
p · r 2 =
Du
2p
Si Dt est très petit, alors Dt tend vers l’infinitésimal dt. On peut alors écrire :
dS =
1
2
r
2 · du, d’où
dS
dt
=
1
2
r
2 ·
du
dt
On retrouve l’expression de la constante des aires C:
dS
dt
=
1
2
r
2 ·
•
u =
C
2
= cste
d S
dt
s’appelle la vitesse aréolaire et correspond à la vitesse à laquelle la surface est
balayée par le rayon vecteur
# –
O M.
Loi des aires
Dans un mouvement à forces centrales, le rayon vecteur balaie des aires égales
pendant des intervalles de temps égaux.
• Conséquences
On peut représenter deux aires balayées par le rayon vecteur à des moments différents
mais sur des intervalles de temps égaux, comme dans la figure 3.7.
Pour une trajectoire non circulaire où la norme du rayon vecteur varie au cours du
temps, la loi des aires indique que la vitesse angulaire varie aussi. Si le rayon r diminue,
alors la vitesse angulaire
•
u augmente. On peut dire aussi que plus le point est proche du
centre de forces, plus sa vitesse angulaire est grande.
d) Lois de Kepler
Dès l’antiquité, les hommes se sont interrogés sur le mouvement des planètes. Le mot
grec « planhths » signifie d’ailleurs errant, vagabond : cette définition illustre bien
la complexité de ces mouvements déjà observée à cette époque ancienne.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
83
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 83 — #93
i
i
i
i