Chapitre 3 • Mécanique terrestre et céleste
c) Loi des aires
Puisque le mouvement est effectué dans un plan, deux coordonnées suffisent pour repérer
la position du point M dans ce plan. Il est alors judicieux d’utiliser les coordonnées
polaires (r, u) et de placer le centre de forces à l’origine du référentiel.
On peut alors exprimer les différents vecteurs dans la base polaire
#– u r , #– u u
:
#–
F (M) = F(r) · #– u r
# –
O M = r · #– u r
#– v (M) =
•
r · #– u r + r ·
•
u · #– u u
Le moment cinétique s’écrit donc :
#–
s O/R (M) =
# –
O M ∧ m · #– v R (M) =
r · #– u r
∧ m
•
r · #– u r + r ·
•
u · #– u u
= m · r
2 ·
•
u · #– u z
Dans le cas d’un champ de forces centrales, on a vu que le moment cinétique reste
constant avec le temps. On a donc :
mr
2 ·
•
u = L 0 avec L 0 tel que
#–
L 0 = L 0 · #– u z
On voit avec cette relation, que le produit de la vitesse angulaire par le carré de
la distance entre centre de force et point d’application de la force, est égal à une
constante, notée C, telle que C =
L 0
m
. Cette constante est appelée constante des aires
du mouvement et est définie par la relation : r
2 ·
•
u =
L 0
m
= C.
On considère maintenant l’aire DS balayée par le rayon vecteur
# –
O M, pendant un
intervalle de temps Dt.
O
M(t+∆t)
∆θ
ρ(t+∆t)
ρ(t)
M(t)
x
x
arc de cercle de rayon ρ(t)
trajectoire du point M
Figure 3.6 Aire balayée par le rayon vecteur pendant un intervalle de temps Dt
Sur un intervalle de temps suffisamment petit, on peut confondre l’arc de cercle de
rayon r(t) et la trajectoire réelle du point M (telle que r change avec le temps : sur la
figure 3.6 le rayon r(t + Dt) est plus petit que le rayon r(t)).
DS correspond en fait à une fraction de l’aire du disque de rayon r(t) et de centre O,
si Dt est petit. DS correspond à un angle polaire Du. Par une simple « règle de trois »,
on peut écrire :
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 82 — #92
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