3.3. Théorème du moment cinétique
Théorème
La dérivée du moment cinétique d’un point matériel M de masse m, par rapport à un
point O, dans un référentiel R galiléen, est égale au moment de la force appliquée
au point M, par rapport au point O.
3.3.4 Mouvement dans un champ de forces centrales
Un champ de forces centrales est un champ de forces dont les supports passent toujours
par un point fixe donné de l’espace (point appelé centre de forces) , et telles que leurs
intensités ne dépendent que de la distance entre ce centre et les points d’application de
ces forces.
Les forces d’attraction gravitationnelle sont des forces centrales et sont particulièrement importantes pour expliquer les mouvements des astres et des planètes. À partir
du théorème du moment cinétique, on trouve alors des lois importantes pour de tels
mouvements.
a) Théorème du moment cinétique
Considérons un référentiel galiléen R , et un champ de forces centrales
#–
F (M), de
centre O immobile dans R . Comme
# –
O Met
#–
F (M) sont parallèles, on obtient donc la
relation suivante :
d #–
s O/R (M)
dt
R
=
# –
O M ∧
#–
F (M) =
#–
0
soit #–
s O/R (M) =
# –
cste =
#–
L 0
Moment cinétique et force centrale
Dans un référentiel galiléen, lorsqu’un point M est soumis à l’action d’une force
centrale, le moment cinétique du point M, noté #–
s O/R (M), calculé au centre de
forces O, est un vecteur constant au cours du mouvement.
b) Planéité de la trajectoire
À chaque instant, le moment cinétique est constant. Cela signifie que :
# –
O M ∧ m #– v =
#–
L 0 =
# –
cste
#–
L 0 est déterminé par les conditions initiales,
# –
O Met #– v à t = 0.
Donc, à chaque instant, le vecteur
# –
O M est perpendiculaire au vecteur constant
#–
L 0 .
O étant fixe, cela veut dire que le point M se déplace dans un plan perpendiculaire à
#–
L 0
et qui contient le point O.
Trajectoire et force centrale
Dans un référentiel galiléen, la trajectoire d’un point M soumis à un champ de forces
centrales, est plane : elle se situe dans le plan perpendiculaire à
#–
L 0 et qui contient le
centre de forces O.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
81
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 81 — #91
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La dérivée du moment cinétique d’un point matériel M de masse m, par rapport à un
point O, dans un référentiel R galiléen, est égale au moment de la force appliquée
au point M, par rapport au point O.
3.3.4 Mouvement dans un champ de forces centrales
Un champ de forces centrales est un champ de forces dont les supports passent toujours
par un point fixe donné de l’espace (point appelé centre de forces) , et telles que leurs
intensités ne dépendent que de la distance entre ce centre et les points d’application de
ces forces.
Les forces d’attraction gravitationnelle sont des forces centrales et sont particulièrement importantes pour expliquer les mouvements des astres et des planètes. À partir
du théorème du moment cinétique, on trouve alors des lois importantes pour de tels
mouvements.
a) Théorème du moment cinétique
Considérons un référentiel galiléen R , et un champ de forces centrales
#–
F (M), de
centre O immobile dans R . Comme
# –
O Met
#–
F (M) sont parallèles, on obtient donc la
relation suivante :
d #–
s O/R (M)
dt
R
=
# –
O M ∧
#–
F (M) =
#–
0
soit #–
s O/R (M) =
# –
cste =
#–
L 0
Moment cinétique et force centrale
Dans un référentiel galiléen, lorsqu’un point M est soumis à l’action d’une force
centrale, le moment cinétique du point M, noté #–
s O/R (M), calculé au centre de
forces O, est un vecteur constant au cours du mouvement.
b) Planéité de la trajectoire
À chaque instant, le moment cinétique est constant. Cela signifie que :
# –
O M ∧ m #– v =
#–
L 0 =
# –
cste
#–
L 0 est déterminé par les conditions initiales,
# –
O Met #– v à t = 0.
Donc, à chaque instant, le vecteur
# –
O M est perpendiculaire au vecteur constant
#–
L 0 .
O étant fixe, cela veut dire que le point M se déplace dans un plan perpendiculaire à
#–
L 0
et qui contient le point O.
Trajectoire et force centrale
Dans un référentiel galiléen, la trajectoire d’un point M soumis à un champ de forces
centrales, est plane : elle se situe dans le plan perpendiculaire à
#–
L 0 et qui contient le
centre de forces O.
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