Chapitre 3 • Mécanique terrestre et céleste
On constate qu’avec cette définition, le moment d’une force est d’autant plus grand
que « le bras de levier » OH est grand. D’autre part, le moment de
#–
F par rapport à O est
dirigé perpendiculairement au plan formé des vecteurs
# –
O M et
#–
F . Son sens est donné
par la règle du tire-bouchon : on peut imaginer qu’on « amène » le vecteur
# –
O M vers le
vecteur
#–
F , et avec ce mouvement on détermine le sens du vecteur moment de la force
#–
F par rapport à O (moment de
#–
F perpendiculaire à la feuille, orienté comme « sortant
de la feuille » ; voir Fig 3.5).
3.3.2 Moment cinétique d’un point
Pour les mouvements de translation, on utilise les notions de force et de quantité de
mouvement, reliées entre elles par le principe fondamental de la dynamique. Pour les
mouvements de rotation, on introduit le moment d’une force. Pour ce qui est de la
quantité de mouvement, on introduit la notion de moment cinétique du point matériel M,
en un point donné O, dans le référentiel R . Il se note #–
s O/R (M) et s’écrit :
#–
s O/R (M) =
# –
O M ∧ #– p R (M) =
# –
O M ∧ m · #– v R (M)
où #– p R (M)et #– v R (M) sont respectivement la quantité de mouvement et la vitesse exprimées dans le référentiel R .
#–
s O/R (M) est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs
# –
O Met #– v R (M).
La norme de #–
s O/R (M) vaut :
#–
s O/R (M)
= m ·
# –
O M
· · #– v R (M) · | sin b|, où b
est l’angle entre les vecteurs
# –
O Met #– v R (M).
3.3.3 Théorème du moment cinétique
R est un référentiel galiléen : on étudie le mouvement d’un point M de masse m, soumis
à une force résultante
#–
F . En dérivant le moment cinétique par rapport au temps, on
obtient :
d #–
s O/R (M)
dt
R
=
d
# –
O M
dt
R
∧ m · #– v R (M) +
# –
O M ∧ m ·
d #– v R (M)
dt
R
Or,
d
# –
O M
dt
R
= #– v R (M) et #– v R (M) ∧ #– v R (M) =
#–
0 .
De plus, d’après le principe fondamental de la dynamique, on a :
m ·
d #– v R (M)
dt
R
=
#–
F
On peut donc écrire la relation suivante :
d #–
s O/R (M)
dt
R
=
# –
O M ∧
#–
F =
#–
M O (
#–
F )
80
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 80 — #90
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On constate qu’avec cette définition, le moment d’une force est d’autant plus grand
que « le bras de levier » OH est grand. D’autre part, le moment de
#–
F par rapport à O est
dirigé perpendiculairement au plan formé des vecteurs
# –
O M et
#–
F . Son sens est donné
par la règle du tire-bouchon : on peut imaginer qu’on « amène » le vecteur
# –
O M vers le
vecteur
#–
F , et avec ce mouvement on détermine le sens du vecteur moment de la force
#–
F par rapport à O (moment de
#–
F perpendiculaire à la feuille, orienté comme « sortant
de la feuille » ; voir Fig 3.5).
3.3.2 Moment cinétique d’un point
Pour les mouvements de translation, on utilise les notions de force et de quantité de
mouvement, reliées entre elles par le principe fondamental de la dynamique. Pour les
mouvements de rotation, on introduit le moment d’une force. Pour ce qui est de la
quantité de mouvement, on introduit la notion de moment cinétique du point matériel M,
en un point donné O, dans le référentiel R . Il se note #–
s O/R (M) et s’écrit :
#–
s O/R (M) =
# –
O M ∧ #– p R (M) =
# –
O M ∧ m · #– v R (M)
où #– p R (M)et #– v R (M) sont respectivement la quantité de mouvement et la vitesse exprimées dans le référentiel R .
#–
s O/R (M) est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs
# –
O Met #– v R (M).
La norme de #–
s O/R (M) vaut :
#–
s O/R (M)
= m ·
# –
O M
· · #– v R (M) · | sin b|, où b
est l’angle entre les vecteurs
# –
O Met #– v R (M).
3.3.3 Théorème du moment cinétique
R est un référentiel galiléen : on étudie le mouvement d’un point M de masse m, soumis
à une force résultante
#–
F . En dérivant le moment cinétique par rapport au temps, on
obtient :
d #–
s O/R (M)
dt
R
=
d
# –
O M
dt
R
∧ m · #– v R (M) +
# –
O M ∧ m ·
d #– v R (M)
dt
R
Or,
d
# –
O M
dt
R
= #– v R (M) et #– v R (M) ∧ #– v R (M) =
#–
0 .
De plus, d’après le principe fondamental de la dynamique, on a :
m ·
d #– v R (M)
dt
R
=
#–
F
On peut donc écrire la relation suivante :
d #–
s O/R (M)
dt
R
=
# –
O M ∧
#–
F =
#–
M O (
#–
F )
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