Chapitre 3 • Mécanique terrestre et céleste
Or, x
′ · #– u
′
x + y
′ · #– u
′
y =
# –
O
′ M =
# –
O M ; ainsi : #– v e = #–
v ∧
# –
O M.
Et la vitesse absolue vaut :
#– v a = #– v r + #–
v ∧
# –
O M
b) Composition des accélérations
Déterminons les expressions des accélérations d’entraînement et de Coriolis dans le cas
d’une rotation uniforme. On rappelle les expressions générales de ces accélérations :

    
    
#– a e =
d
2
# –
O O
′
dt 2
R a
+ x
′ ·
••
#– u
′
x + y
′ ·
••
#– u
′
y + z
′ ·
••
#– u
′
z
#– a c = 2
•
x
′ ·
•
#– u
′
x +
•
y
′ ·
•
#– u
′
y +
•
z
′ ·
•
#– u
′
z
O et O’ sont confondus, donc
d
2
# –
O O
′
dt 2
R a
=
#–
0 .
En introduisant les produits vectoriels, on obtient l’accélération d’entraînement suivante :
#– a e = x
′ ·
d
dt
#–
v ∧ #– u
′
x
+ y
′ ·
d
dt
#–
v ∧ #– u
′
y
+ z
′ ·
d
dt
#–
v ∧ #– u
′
z
#– a e =
d #–
v
dt
∧
x
′ · #– u
′
x + y
′ · #– u
′
y + z
′ · #– u
′
z
+ #–
v ∧ #–
v ∧
x
′ · #– u
′
x + y
′ · #– u
′
y + z
′ · #– u
′
z
#– a e =
d #–
v
dt
∧
# –
O M
+
#–
v ∧ #–
v ∧
# –
O M
Or le vecteur rotation est ici constant donc
d #–
v
dt
=
#–
0
De même en introduisant le produit vectoriel, on obtient une relation simple pour
l’accélération de Coriolis :
#– a c = 2 · #–
v ∧
•
x
′ · #– u
′
x +
•
y
′ · #– u
′
y +
•
z
′ · #– u
′
z
= 2 · #–
v ∧ #– v r
Et l’accélération absolue vaut :
#– a a = #– a r +
#–
v ∧ #–
v ∧
# –
O M
+ 2 · #–
v ∧ #– v r
Remarque
Dans le cas général où le référentiel mobile est à la fois en translation et rotation
non uniformes, il n’y a pas d’axe fixe et O et O’ ne sont pas confondus. Les lois de
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 74 — #84
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