3.1. Changement de référentiel
O
X
Y
Z
ux
uy
H
uz
O'
R a
R r
Z'
Y'
X'
u'x
u'y
u'z
θ
θ
ω = ω.u z
Figure 3.2 Référentiel relatif R r en rotation
uniforme par rapport au référentiel absolu R a
Les axes OZ et O’Z’ sont confondus.
La rotation de R r par rapport à R a est uniforme, c’est-à-dire que la vitesse angulaire
est égale à une constante. On la définit comme suit : v =
du
dt
.
Pour mener à bien la description du mouvement, il convient maintenant de définir
un vecteur très important de ce type de cas : le vecteur rotation
Voir site
web
. Ce vecteur est porté
par l’axe de rotation, son intensité donne la vitesse angulaire de rotation et son sens est
donné par la règle du tire-bouchon (dans un plan, si rotation dans le sens trigonométrique,
vecteur rotation perpendiculaire au plan et dirigé vers le haut).
Remarque
Dans le cas d’une rotation uniforme, dériver un vecteur par rapport au temps revient
à calculer le produit vectoriel du vecteur rotation par ce vecteur
Voir site
web
. Ainsi, on a :
d #– u
′
x
dt
= #–
v ∧ #– u
′
x
a) Composition des vitesses
Déterminons, dans le cas de cette rotation uniforme, le vecteur vitesse d’entraînement.
On rappelle son expression générale :
#– v e =
d
# –
O O
′
dt
R a
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
Les points O et O’ sont confondus, donc :
d
# –
O O
′
dt
R a
=
#–
0 .
On a vu qu’on peut écrire les dérivées de vecteurs sous forme de produits vectoriels,
comme suit :
•
#– u
′
x = #–
v ∧ #– u
′
x
•
#– u
′
y = #–
v ∧ #– u
′
y
•
#– u
′
z = #–
v ∧ #– u
′
z =
#–
0
Donc : #– v e = #–
v ∧
x
′ · #– u
′
x + y
′ · #– u
′
y
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 73 — #83
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Z
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uy
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O'
R a
R r
Z'
Y'
X'
u'x
u'y
u'z
θ
θ
ω = ω.u z
Figure 3.2 Référentiel relatif R r en rotation
uniforme par rapport au référentiel absolu R a
Les axes OZ et O’Z’ sont confondus.
La rotation de R r par rapport à R a est uniforme, c’est-à-dire que la vitesse angulaire
est égale à une constante. On la définit comme suit : v =
du
dt
.
Pour mener à bien la description du mouvement, il convient maintenant de définir
un vecteur très important de ce type de cas : le vecteur rotation
Voir site
web
. Ce vecteur est porté
par l’axe de rotation, son intensité donne la vitesse angulaire de rotation et son sens est
donné par la règle du tire-bouchon (dans un plan, si rotation dans le sens trigonométrique,
vecteur rotation perpendiculaire au plan et dirigé vers le haut).
Remarque
Dans le cas d’une rotation uniforme, dériver un vecteur par rapport au temps revient
à calculer le produit vectoriel du vecteur rotation par ce vecteur
Voir site
web
. Ainsi, on a :
d #– u
′
x
dt
= #–
v ∧ #– u
′
x
a) Composition des vitesses
Déterminons, dans le cas de cette rotation uniforme, le vecteur vitesse d’entraînement.
On rappelle son expression générale :
#– v e =
d
# –
O O
′
dt
R a
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
Les points O et O’ sont confondus, donc :
d
# –
O O
′
dt
R a
=
#–
0 .
On a vu qu’on peut écrire les dérivées de vecteurs sous forme de produits vectoriels,
comme suit :
•
#– u
′
x = #–
v ∧ #– u
′
x
•
#– u
′
y = #–
v ∧ #– u
′
y
•
#– u
′
z = #–
v ∧ #– u
′
z =
#–
0
Donc : #– v e = #–
v ∧
x
′ · #– u
′
x + y
′ · #– u
′
y
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