Chapitre 3 • Mécanique terrestre et céleste
Ainsi la vitesse d’entraînement se réduit à l’expression suivante :
#– v e =
d
# –
O O
′
dt
R a
= #– v R a (O
′ )
Donc dans le cas de deux référentiels en translation l’un par rapport à l’autre, la
vitesse d’entraînement se réduit à la vitesse de l’origine du référentiel mobile dans le
référentiel fixe.
La vitesse absolue dans le cas de deux référentiels en translation s’écrit donc :
#– v a = #– v r + #– v R a (O
′ )
Pour les accélérations, on note que les dérivées premières et secondes des vecteurs
de la base du référentiel relatif sont nulles. Donc :
•
#– u
′
x =
•
#– u
′
y =
•
#– u
′
z =
••
#– u
′
x =
••
#– u
′
y =
••
#– u
′
z =
#–
0
On obtient donc le résultat suivant pour les accélérations d’entraînement et de Coriolis : l’accélération de Coriolis est nulle et l’accélération d’entraînement se réduit à
l’accélération dans R a du point O’ (origine du référentiel relatif).
#– a c =
#–
0
et #– a e =
d
2
# –
O O
′
dt 2
R a
= #– a R a (O
′ )
On arrive alors à l’expression de l’accélération absolue dans le cas de deux référentiels
en translation :
#– a a = #– a r + #– a R a (O
′ )
Cas particulier : référentiel en translation rectiligne uniforme
Dans ce cas, la vitesse du point O’ dans R a est constante, ce qui signifie que l’accélération du point O’ dans R a est nulle ( #– a R a (O
′ ) =
#–
0 ). Par conséquent, les lois de
composition des vitesses et accélérations donnent les résultats suivants :
#– v a = #– v r + #– v R a (O
′ ) et #– a a = #– a r
Donc : l’accélération d’un point matériel est la même (en direction, sens et norme)
dans tous les référentiels qui sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport
aux autres.
3.1.4 Référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe
L’exemple que l’on prend ici est celui d’un manège : on imagine un référentiel relatif R r
lié au manège, en rotation uniforme par rapport à un référentiel fixe R a lié au sol. Pour
simplifier le formalisme, on imagine aussi qu’un axe (vertical) est fixe et identique dans
les deux référentiels (à savoir axes OZ dans R a et O’Z’ dans R r confondus). Donc
seuls les axes OX’ et OY’ de R r subissent une rotation uniforme par rapport aux axes
OX et OY fixes de R a .
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 72 — #82
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Ainsi la vitesse d’entraînement se réduit à l’expression suivante :
#– v e =
d
# –
O O
′
dt
R a
= #– v R a (O
′ )
Donc dans le cas de deux référentiels en translation l’un par rapport à l’autre, la
vitesse d’entraînement se réduit à la vitesse de l’origine du référentiel mobile dans le
référentiel fixe.
La vitesse absolue dans le cas de deux référentiels en translation s’écrit donc :
#– v a = #– v r + #– v R a (O
′ )
Pour les accélérations, on note que les dérivées premières et secondes des vecteurs
de la base du référentiel relatif sont nulles. Donc :
•
#– u
′
x =
•
#– u
′
y =
•
#– u
′
z =
••
#– u
′
x =
••
#– u
′
y =
••
#– u
′
z =
#–
0
On obtient donc le résultat suivant pour les accélérations d’entraînement et de Coriolis : l’accélération de Coriolis est nulle et l’accélération d’entraînement se réduit à
l’accélération dans R a du point O’ (origine du référentiel relatif).
#– a c =
#–
0
et #– a e =
d
2
# –
O O
′
dt 2
R a
= #– a R a (O
′ )
On arrive alors à l’expression de l’accélération absolue dans le cas de deux référentiels
en translation :
#– a a = #– a r + #– a R a (O
′ )
Cas particulier : référentiel en translation rectiligne uniforme
Dans ce cas, la vitesse du point O’ dans R a est constante, ce qui signifie que l’accélération du point O’ dans R a est nulle ( #– a R a (O
′ ) =
#–
0 ). Par conséquent, les lois de
composition des vitesses et accélérations donnent les résultats suivants :
#– v a = #– v r + #– v R a (O
′ ) et #– a a = #– a r
Donc : l’accélération d’un point matériel est la même (en direction, sens et norme)
dans tous les référentiels qui sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport
aux autres.
3.1.4 Référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe
L’exemple que l’on prend ici est celui d’un manège : on imagine un référentiel relatif R r
lié au manège, en rotation uniforme par rapport à un référentiel fixe R a lié au sol. Pour
simplifier le formalisme, on imagine aussi qu’un axe (vertical) est fixe et identique dans
les deux référentiels (à savoir axes OZ dans R a et O’Z’ dans R r confondus). Donc
seuls les axes OX’ et OY’ de R r subissent une rotation uniforme par rapport aux axes
OX et OY fixes de R a .
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