Chapitre 3 • Mécanique terrestre et céleste
#– a a =
d #– v a
dt
R a
=
d
2 # –
O M
dt 2
R a
=
••
x · #– u x +
••
y · #– u y +
••
z · #– u z
Pour l’accélération relative, on dérive par rapport au temps le vecteur vitesse relative #– v r (dans R r ) en considérant les vecteurs #– u
′
x , #– u
′
y , #– u
′
z de la base associée à R r
comme fixes avec le temps. On obtient donc :
#– a r =
d #– v r
dt
R r
=
d
2
# –
O
′ M
dt 2
R r
=
••
x
′ · #– u
′
x +
••
y
′ · #– u
′
y +
••
z
′ · #– u
′
z
On dérive maintenant l’équation de la composition des vitesses dans le référentiel R a ,
comme suit :
#– a a =
d #– v a
dt
R a
=
d #– v r
dt
R a
+
d #– v e
dt
R a
1) On développe d’abord le terme
d #– v r
dt
R a
d #– v r
dt
R a
=
••
x
′ · #– u
′
x +
•
x
′ ·
•
#– u
′
x +
••
y
′ · #– u
′
y +
•
y
′ ·
•
#– u
′
y +
••
z
′ · #– u
′
z +
•
z
′ ·
•
#– u
′
z
d #– v r
dt
R a
=
••
x
′ · #– u
′
x +
••
y
′ · #– u
′
y +
••
z
′ · #– u
′
z
#– a r
+
•
x
′ ·
•
#– u
′
x +
•
y
′ ·
•
#– u
′
y +
•
z
′ ·
•
#– u
′
z
d #– v r
dt
R a
= #– a r +
•
x
′ ·
•
#– u
′
x +
•
y
′ ·
•
#– u
′
y +
•
z
′ ·
•
#– u
′
z
2) On développe ensuite le terme
d #– v e
dt
R a
d #– v e
dt
R a
=
d
dt
d
# –
O O
′
dt
R a
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
d #– v e
dt
R a
=
d
2
# –
O O
′
dt 2
R a
+
•
x
′ ·
•
#– u
′
x + x
′ ·
••
#– u
′
x +
•
y
′ ·
•
#– u
′
y + y
′ ·
••
#– u
′
y +
•
z
′ ·
•
#– u
′
z + z
′ ·
••
#– u
′
z
d #– v e
dt
R a
=
d
2
# –
O O
′
dt 2
R a
+ x
′ ·
••
#– u
′
x + y
′ ·
••
#– u
′
y + z
′ ·
••
#– u
′
z + +
•
x
′ ·
•
#– u
′
x +
•
y
′ ·
•
#– u
′
y +
•
z
′ ·
•
#– u
′
z
70
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 70 — #80
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