3.1. Changement de référentiel
d #– r
′
dt
R a
= #– v r + x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
On peut donc compléter la relation initiale :
d #– r
dt
R a
= #– v a =
d
# –
O O
′
dt
R a
+
d #– r
′
dt
R a
=
d
# –
O O
′
dt
R a
+ #– v r + x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
#– v a = #– v r +
d
# –
O O
′
dt
R a
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
Imaginons maintenant que le point M est immobile dans R r . Dans ce cas, #– v r =
#–
0 .
Dans l’expression de #– v a , il reste donc les termes suivants :
d
# –
O O
′
dt
R a
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
Le premier terme correspond à la vitesse du point O’ (origine du référentiel relatif)
dans le référentiel absolu, tandis que les trois autres termes décrivent les variations avec
le temps des vecteurs #– u
′
x , #– u
′
y , #– u
′
z (vecteurs de la base du référentiel relatif), dans le
référentiel absolu. L’ensemble des ces quatre termes décrivent donc le mouvement du
référentiel relatif par rapport au référentiel absolu : ils définissent donc ce qu’on appelle
la vitesse d’entraînement du point M, notée #– v e .
Ainsi, on peut écrire :
#– v e =
d
# –
O O
′
dt
R a
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
Loi de composition des vitesses
La vitesse absolue d’un point M s’exprime en fonction de la vitesse relative du
point M et de la vitesse d’entraînement du référentiel relatif par rapport au référentiel absolu, suivant la relation :
#– v a = #– v r + #– v e
3.1.2 Composition des accélérations
On cherche la relation entre l’accélération absolue #– a a et l’accélération relative #– a r . Par
le même raisonnement que pour les vitesses, on peut écrire les accélérations #– a a et #– a r .
L’accélération absolue se calcule en dérivant par rapport au temps le vecteur vitesse
absolue #– v a (dans R a ) en considérant les vecteurs #– u x , #– u y , #– u z de la base associée à R a
comme fixes avec le temps. On obtient donc :
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
69
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 69 — #79
i
i
i
i
d #– r
′
dt
R a
= #– v r + x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
On peut donc compléter la relation initiale :
d #– r
dt
R a
= #– v a =
d
# –
O O
′
dt
R a
+
d #– r
′
dt
R a
=
d
# –
O O
′
dt
R a
+ #– v r + x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
#– v a = #– v r +
d
# –
O O
′
dt
R a
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
Imaginons maintenant que le point M est immobile dans R r . Dans ce cas, #– v r =
#–
0 .
Dans l’expression de #– v a , il reste donc les termes suivants :
d
# –
O O
′
dt
R a
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
Le premier terme correspond à la vitesse du point O’ (origine du référentiel relatif)
dans le référentiel absolu, tandis que les trois autres termes décrivent les variations avec
le temps des vecteurs #– u
′
x , #– u
′
y , #– u
′
z (vecteurs de la base du référentiel relatif), dans le
référentiel absolu. L’ensemble des ces quatre termes décrivent donc le mouvement du
référentiel relatif par rapport au référentiel absolu : ils définissent donc ce qu’on appelle
la vitesse d’entraînement du point M, notée #– v e .
Ainsi, on peut écrire :
#– v e =
d
# –
O O
′
dt
R a
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
Loi de composition des vitesses
La vitesse absolue d’un point M s’exprime en fonction de la vitesse relative du
point M et de la vitesse d’entraînement du référentiel relatif par rapport au référentiel absolu, suivant la relation :
#– v a = #– v r + #– v e
3.1.2 Composition des accélérations
On cherche la relation entre l’accélération absolue #– a a et l’accélération relative #– a r . Par
le même raisonnement que pour les vitesses, on peut écrire les accélérations #– a a et #– a r .
L’accélération absolue se calcule en dérivant par rapport au temps le vecteur vitesse
absolue #– v a (dans R a ) en considérant les vecteurs #– u x , #– u y , #– u z de la base associée à R a
comme fixes avec le temps. On obtient donc :
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
69
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 69 — #79
i
i
i
i