Chapitre 3 • Mécanique terrestre et céleste
Remarque
Quand on écrit R r en indice, cela signifie que l’on considère les axes liés à R r comme
fixes, donc ne dépendant pas du temps.
La vitesse absolue se calcule en dérivant par rapport au temps le vecteur position #– r
(dans R a ) en considérant les vecteurs #– u x , #– u y , #– u z de la base associée à R a comme fixes
avec le temps. On obtient donc : #– v a =
•
x · #– u x +
•
y · #– u y +
•
z · #– u z
La vitesse relative se calcule en dérivant par rapport au temps le vecteur position #– r
′
(dans R r ) en considérant les vecteurs #– u
′
x , #– u
′
y , #– u
′
z de la base associée à R r comme fixes
avec le temps. On obtient donc : #– v r =
•
x
′ · #– u
′
x +
•
y
′ · #– u
′
y +
•
z
′ · #– u
′
z
Pour trouver la relation entre les vitesses absolue et relative, il faut partir de la relation
énoncée plus haut entre les vecteurs position dans les deux référentiels :
#– r =
# –
O O
′ + #– r
′
On dérive alors cette relation par rapport au temps, en se plaçant dans le référentiel
absolu R a .
Remarque
Quand on dérive un vecteur (exprimé dans une base vectorielle) dans un référentiel
donné, on doit au préalable faire l’inventaire des vecteurs qui sont fixes et ceux
qui sont mobiles dans ce référentiel. Ainsi les vecteurs de la base du référentiel
mobile sont fixes dans le référentiel relatif mobile mais varient avec le temps dans le
référentiel absolu fixe.
On écrit alors la relation suivante :
d #– r
dt
R a
=
d
# –
O O
′
dt
R a
+
d #– r
′
dt
R a
Or, comme #– r
′ =
# –
O
′ M = x
′ · #– u
′
x + y
′ · #– u
′
y + z
′ · #– u
′
z , on doit écrire tous les termes de
la dérivée par rapport au temps dans le référentiel absolu R a . On suit pour cela la règle
de la dérivation d’une combinaison linéaire de vecteurs telle que :
si #– u = a ·
#–
i + b ·
#–
j
alors
•
#– u =
•
a ·
#–
i + a ·
•
#–
i +
•
b ·
#–
j + b ·
•
#–
j
On peut donc écrire :
d #– r
′
dt
R a
=
•
x
′ · #– u
′
x + x
′ ·
•
#– u
′
x +
•
y
′ · #– u
′
y + y
′ ·
•
#– u
′
y +
•
z
′ · #– u
′
z + z
′ ·
•
#– u
′
z
On peut alors regrouper les termes comme suit (notamment pour retrouver l’expression de #– v r ) :
d #– r
′
dt
R a
=
•
x
′ · #– u
′
x +
•
y
′ · #– u
′
y +
•
z
′ · #– u
′
z
#– v r
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
′
z
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 68 — #78
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Remarque
Quand on écrit R r en indice, cela signifie que l’on considère les axes liés à R r comme
fixes, donc ne dépendant pas du temps.
La vitesse absolue se calcule en dérivant par rapport au temps le vecteur position #– r
(dans R a ) en considérant les vecteurs #– u x , #– u y , #– u z de la base associée à R a comme fixes
avec le temps. On obtient donc : #– v a =
•
x · #– u x +
•
y · #– u y +
•
z · #– u z
La vitesse relative se calcule en dérivant par rapport au temps le vecteur position #– r
′
(dans R r ) en considérant les vecteurs #– u
′
x , #– u
′
y , #– u
′
z de la base associée à R r comme fixes
avec le temps. On obtient donc : #– v r =
•
x
′ · #– u
′
x +
•
y
′ · #– u
′
y +
•
z
′ · #– u
′
z
Pour trouver la relation entre les vitesses absolue et relative, il faut partir de la relation
énoncée plus haut entre les vecteurs position dans les deux référentiels :
#– r =
# –
O O
′ + #– r
′
On dérive alors cette relation par rapport au temps, en se plaçant dans le référentiel
absolu R a .
Remarque
Quand on dérive un vecteur (exprimé dans une base vectorielle) dans un référentiel
donné, on doit au préalable faire l’inventaire des vecteurs qui sont fixes et ceux
qui sont mobiles dans ce référentiel. Ainsi les vecteurs de la base du référentiel
mobile sont fixes dans le référentiel relatif mobile mais varient avec le temps dans le
référentiel absolu fixe.
On écrit alors la relation suivante :
d #– r
dt
R a
=
d
# –
O O
′
dt
R a
+
d #– r
′
dt
R a
Or, comme #– r
′ =
# –
O
′ M = x
′ · #– u
′
x + y
′ · #– u
′
y + z
′ · #– u
′
z , on doit écrire tous les termes de
la dérivée par rapport au temps dans le référentiel absolu R a . On suit pour cela la règle
de la dérivation d’une combinaison linéaire de vecteurs telle que :
si #– u = a ·
#–
i + b ·
#–
j
alors
•
#– u =
•
a ·
#–
i + a ·
•
#–
i +
•
b ·
#–
j + b ·
•
#–
j
On peut donc écrire :
d #– r
′
dt
R a
=
•
x
′ · #– u
′
x + x
′ ·
•
#– u
′
x +
•
y
′ · #– u
′
y + y
′ ·
•
#– u
′
y +
•
z
′ · #– u
′
z + z
′ ·
•
#– u
′
z
On peut alors regrouper les termes comme suit (notamment pour retrouver l’expression de #– v r ) :
d #– r
′
dt
R a
=
•
x
′ · #– u
′
x +
•
y
′ · #– u
′
y +
•
z
′ · #– u
′
z
#– v r
+ x
′ ·
•
#– u
′
x + y
′ ·
•
#– u
′
y + z
′ ·
•
#– u
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