Chapitre 2 • Dynamique du point
Remarque
Comme la vitesse du point M est une grandeur définie dans un référentiel donné,
l’énergie cinétique est aussi une quantité relative à ce référentiel donné.
b) Théorème de l’énergie cinétique
Étudions le mouvement d’un point M de masse m, mobile dans un référentiel galiléen R , sous l’action d’une force quelconque
#–
F . D’après le principe fondamental de la
dynamique, on a :
#–
F = m · #– a = m ·
d #– v
dt
De plus, par définition, on a :
d #– r
dt
= #– v , donc d #– r = #– v · dt
Le travail de la force
#–
F entre deux points A et B est donc :
W A→B
#–
F
=
B
A
#–
F · d #– r =
B
A
m ·
d #– v
dt
· ( #– v · dt) =
B
A
m · ( #– v · d #– v )
• Complément mathématique
Il convient alors de faire un calcul différentiel simple pour avancer dans cette démonstration du théorème de l’énergie cinétique.
Ainsi on peut écrire la différentielle du produit scalaire du vecteur #– v par lui-même :
d( #– v · #– v ) = d #– v · #– v + #– v · d #– v = 2 #– v · d #– v
Or, #– v · #– v = #– v
2 , donc :
m · ( #– v · d #– v ) = d
1
2
m #– v
2
On peut donc écrire le travail de la force
#–
F comme suit :
W A→B
#–
F
=
B
A
d
1
2
m #– v
2
=
1
2
m #– v B
2 −
1
2
m #– v A
2
On obtient donc l’expression suivante :
W A→B
#–
F
= E c (B) − E c (A).
Théorème
Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique entre deux positions
est égale au travail de la force résultante appliquée entre ces deux positions.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 58 — #68
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