Chapitre 2 • Dynamique du point
où E 0 est une constante définie à partir des conditions initiales (on peut par exemple
choisir de fixer que l’énergie potentielle est nulle quand z = 0, et avoir E 0 = 0).
Énergie potentielle
Puisque le travail d’une force conservative ne dépend que des positions initiale et
finale du corps en mouvement, on peut introduire une fonction énergie potentielle,
notée E p , qui ne dépend que de la position du corps, telle que :
W A→B
#–
F
=
B
A
#–
F
#– r
· d #– r = −
E p (B) − E p (A)
E p (A) et E p (B) sont les énergies potentielles du point M aux positions A et B
respectivement.
Cette fonction
énergie
potentielle a
bien la
dimension
d’une énergie
et s’exprime
en kg · m
2 · s
–2
ou en joules.
Théorème
Le travail d’une force conservative est égal à l’opposé de la variation de l’énergie
potentielle du point matériel.
Remarques
• Le signe « moins » dans l’expression du travail de la force conservative en fonction
de la variation d’énergie potentielle est purement arbitraire, et est utilisé principalement pour des simplifications d’écriture notamment pour l’énergie potentielle
gravitationnelle.
• La force conservative dérive en fait de l’énergie potentielle suivant la relation suivante
qui fait intervenir l’opérateur mathématique vecteur gradient
Voir site
web
:
#–
F = −
dEp
dx
· #–
ux +
dEp
dy
· #–
uy +
dEp
dz
· #–
uz
= −
# –
grad (Ep)
Cette expression de
#–
F en fonction du gradient de l’énergie potentielle Ep est bien
sûr valable dans tous les systèmes de coordonnées ; il faut alors se reporter aux
expressions du gradient dans les systèmes cylindrique et sphérique.
c) Puits et barrière de potentiel
On considère ici le mouvement unidirectionnel d’une particule M de masse m, sous
l’action d’une force conservative
#–
F , dans un référentiel galiléen R . Si ce mouvement
est réalisé suivant un axe OX de coordonnées x, on peut écrire la relation entre la force
appliquée et l’énergie potentielle dont dérive cette force :
F(x) = −
dE p (x)
dx
E p (x) est a priori quelconque et peut présenter des extrema (minima et maxima)
comme illustré dans la figure 2.8.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 56 — #66
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où E 0 est une constante définie à partir des conditions initiales (on peut par exemple
choisir de fixer que l’énergie potentielle est nulle quand z = 0, et avoir E 0 = 0).
Énergie potentielle
Puisque le travail d’une force conservative ne dépend que des positions initiale et
finale du corps en mouvement, on peut introduire une fonction énergie potentielle,
notée E p , qui ne dépend que de la position du corps, telle que :
W A→B
#–
F
=
B
A
#–
F
#– r
· d #– r = −
E p (B) − E p (A)
E p (A) et E p (B) sont les énergies potentielles du point M aux positions A et B
respectivement.
Cette fonction
énergie
potentielle a
bien la
dimension
d’une énergie
et s’exprime
en kg · m
2 · s
–2
ou en joules.
Théorème
Le travail d’une force conservative est égal à l’opposé de la variation de l’énergie
potentielle du point matériel.
Remarques
• Le signe « moins » dans l’expression du travail de la force conservative en fonction
de la variation d’énergie potentielle est purement arbitraire, et est utilisé principalement pour des simplifications d’écriture notamment pour l’énergie potentielle
gravitationnelle.
• La force conservative dérive en fait de l’énergie potentielle suivant la relation suivante
qui fait intervenir l’opérateur mathématique vecteur gradient
Voir site
web
:
#–
F = −
dEp
dx
· #–
ux +
dEp
dy
· #–
uy +
dEp
dz
· #–
uz
= −
# –
grad (Ep)
Cette expression de
#–
F en fonction du gradient de l’énergie potentielle Ep est bien
sûr valable dans tous les systèmes de coordonnées ; il faut alors se reporter aux
expressions du gradient dans les systèmes cylindrique et sphérique.
c) Puits et barrière de potentiel
On considère ici le mouvement unidirectionnel d’une particule M de masse m, sous
l’action d’une force conservative
#–
F , dans un référentiel galiléen R . Si ce mouvement
est réalisé suivant un axe OX de coordonnées x, on peut écrire la relation entre la force
appliquée et l’énergie potentielle dont dérive cette force :
F(x) = −
dE p (x)
dx
E p (x) est a priori quelconque et peut présenter des extrema (minima et maxima)
comme illustré dans la figure 2.8.
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