2.2. Travail et énergie
le produit scalaire sous l’intégrale. Ainsi, on obtient :
W A→B
#–
P
=
B
A
−m · · #– g · #– u z · d #– r =
B
A
−m · · #– g · dz = −m · · #– g · (z B − z A )
Trois cas peuvent alors se produire :
• z A > z B , dans ce cas W A→B
#–
P
est positif et donc moteur dans la chute de M.
• z A < z B , dans ce cas W A→B
#–
P
est négatif, résistant et s’oppose au mouvement de
chute de M.
• z A = z B , dans ce cas W A→B
#–
P
= 0, le poids ne « travaille » pas.
Mais dans tous les cas, on trouve une propriété importante de ce travail : il ne dépend
que de la position de M au départ A et à l’arrivée B du mouvement. Ainsi ce travail ne
dépend pas du chemin parcouru. On dit alors que la force d’attraction gravitationnelle
est conservative.
Les forces conservatives
Une force est conservative si, lorsque le point d’application de la force se déplace
d’une position A à une position B, le travail de cette force est indépendant de la
trajectoire suivie par le point pour aller de A à B.
Remarque
Le travail d’une force conservative le long d’une trajectoire fermée est nul car les
points de départ et d’arrivée sont identiques ; on écrit alors :
#–
F · d
#–
r = 0, avec
symbole d’une intégrale sur un contour fermé.
b) Énergie potentielle gravitationnelle
Puisque le travail du poids ne dépend que des positions initiale et finale du mobile, on
peut introduire une fonction qui ne dépend que de la position du mobile. Cette fonction
est appelée énergie potentielle et se note E p .
On peut donc écrire la relation suivante :
W A→B
#–
P
= −m · · #– g · (z B − z A ) = −
E p (B) − E p (A)
On voit ici que l’énergie potentielle est définie à travers sa variation entre deux
positions données. L’énergie potentielle est donc définie à une constante près. On fixe
cette constante en choisissant un point de référence (où l’énergie potentielle est nulle).
On définit donc l’énergie potentielle gravitationnelle comme suit :
E p (z) = m · #– g · z + E 0
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 55 — #65
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le produit scalaire sous l’intégrale. Ainsi, on obtient :
W A→B
#–
P
=
B
A
−m · · #– g · #– u z · d #– r =
B
A
−m · · #– g · dz = −m · · #– g · (z B − z A )
Trois cas peuvent alors se produire :
• z A > z B , dans ce cas W A→B
#–
P
est positif et donc moteur dans la chute de M.
• z A < z B , dans ce cas W A→B
#–
P
est négatif, résistant et s’oppose au mouvement de
chute de M.
• z A = z B , dans ce cas W A→B
#–
P
= 0, le poids ne « travaille » pas.
Mais dans tous les cas, on trouve une propriété importante de ce travail : il ne dépend
que de la position de M au départ A et à l’arrivée B du mouvement. Ainsi ce travail ne
dépend pas du chemin parcouru. On dit alors que la force d’attraction gravitationnelle
est conservative.
Les forces conservatives
Une force est conservative si, lorsque le point d’application de la force se déplace
d’une position A à une position B, le travail de cette force est indépendant de la
trajectoire suivie par le point pour aller de A à B.
Remarque
Le travail d’une force conservative le long d’une trajectoire fermée est nul car les
points de départ et d’arrivée sont identiques ; on écrit alors :
#–
F · d
#–
r = 0, avec
symbole d’une intégrale sur un contour fermé.
b) Énergie potentielle gravitationnelle
Puisque le travail du poids ne dépend que des positions initiale et finale du mobile, on
peut introduire une fonction qui ne dépend que de la position du mobile. Cette fonction
est appelée énergie potentielle et se note E p .
On peut donc écrire la relation suivante :
W A→B
#–
P
= −m · · #– g · (z B − z A ) = −
E p (B) − E p (A)
On voit ici que l’énergie potentielle est définie à travers sa variation entre deux
positions données. L’énergie potentielle est donc définie à une constante près. On fixe
cette constante en choisissant un point de référence (où l’énergie potentielle est nulle).
On définit donc l’énergie potentielle gravitationnelle comme suit :
E p (z) = m · #– g · z + E 0
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