Chapitre 2 • Dynamique du point
a) Travail de la force d’attraction gravitationnelle
Calculons le travail du poids d’un corps (assimilé au point M) de masse m, qui suit une
trajectoire quelconque, entre un point A (de cote ou altitude z A ) et un point B (de cote
ou altitude z B ), comme représenté sur la figure 2.7.
A
x
B
M
x
x
p
O
Z
X
z A
z B
sol
u z
Figure 2.7 Travail de la force d’attraction gravitationnelle
Le poids
#–
P est orienté selon − #– u z , et s’écrit :
#–
P = −m · #– g = −m · · #– g · #– u z .
Par définition, le travail de la force de gravitation exercée sur le point M entre les
points A et B, peut s’écrire :
W A→B
#–
P
=
B
A
#–
P · d #– r =
B
A
−m · · #– g · #– u z · d #– r
VECTEUR DÉPLACEMENT ÉLÉMENTAIRE EN
COORDONNÉES CARTÉSIENNES
On a vu dans le chapitre 1 que le vecteur position s’écrit en coordonnées cartésiennes :
#–
r =
# –
OM = x ·
#–
u x + y ·
#–
u y + z ·
#–
u z
Si on utilise quelques règles du calcul différentiel (par exemple d(f · g) = (df ) · g + f · (dg))
applicables sur des vecteurs, en rappelant que les vecteurs
#–
u x ,
#–
u y ,
#–
u z sont invariants (donc
d
#–
u x = d
#–
u y = d
#–
u z =
#–
0), on peut écrire le déplacement élémentaire d
#–
r en coordonnées
cartésiennes comme suit :
d
#–
r = d
# –
OM = dx ·
#–
u x + dy ·
#–
u y + dz ·
#–
u z
On introduit d #– r dans l’expression du travail énoncée plus haut, et comme les vecteurs
#– u x , #– u y , #– u z sont orthogonaux deux à deux, il ne reste que la composante selon #– u z dans
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 54 — #64
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