SOLUTIONS DES EXERCICES
En effet, la condition R 2 Cv 1 implique que
R 2 >>
1
Cv
, le terme
1
Cv
représentant l’impédance de la capacité. Pratiquement, cela signifie
que le courant circule majoritairement dans la
capacité C, celui qui circule dans la résistance R 2
est infiniment petit et tend vers 0.
c) En régime temporel, nous pouvons écrire :
i(t) = C ·
du c (t)
dt
avec u c (t) = −v s (t) ce qui
revient à écrire i(t) = −C ·
dv s (t)
dt
De même, nous avons :
v e (t) = R 1 · i(t) ⇒ i(t) =
v e (t)
R 1
⇒
v e (t)
R 1
= −C ·
dv s (t)
dt
soit ⇒ v s (t) = −
1
R 1 C
v e (t) dt
Le signal de sortie est par conséquent l’intégrale
du signal appliqué à l’entrée à condition que celuici soit de fréquence supérieure à f c .
Remarque
Ce circuit est particulièrement intéressant. Il a,
d’une certaine façon, une double utilisation. Son
comportement fréquentiel est celui d’un filtre actif
passe-bas dont le gain et la fréquence de coupure
peuvent être ajustées selon les valeurs de R 1 , R 2 et
C. Il peut également réaliser la fonction d’intégration si la fréquence du signal à l’entrée est supérieure à fc. A ce titre, on trouvera ce circuit dans
la littérature sous l’appellation pseudo-intégrateur
dans la mesure où la fonction d’intégration n’est
pas assurée dans toute la bande de fréquence.
24.3 a) On remarque que la rétroaction s’effectue sur l’entrée non inverseuse de l’AOP ce
qui laisse penser qu’il s’agit d’une rétroaction
positive. Par un effet cumulatif du potentiel sur
l’entrée non inverseuse (voir § 24.2.2 (b)), l’AOP
fonctionne alors en régime non linéaire et sa tension de sortie ne pourra prendre que deux valeurs,
soit + V CC , soit – V CC .
L’AOP fonctionne alors en comparateur. Le signe
de la tension de sortie dépend du signe de ´ selon
le principe suivant :
• si v
+ > v
− (´ > 0), alors
v s = +V CC = +15 V
• si v
+ < v
− (´ < 0), alors
v s = −V CC = −15 V
L’entrée inverseuse étant reliée à la masse, déterminons le potentiel sur l’entrée non inverseuse.
Par application du théorème de Millman, nous
pouvons écrire :
v
+ =
v e
R 1
+
v s
R 2
1
R 1
+
1
R 2
soit v
+ =
(v e · R 2 + v s · R 1 )
R 1 + R 2
i. Partons de l’hypothèse où v s = +V CC , il en
découle que :
v
+ =
(v e · R 2 + V CC · R 1 )
R 1 + R 2
v s basculera de +V CC à –V CC si et seulement si
v + < 0 soit :
v
+ =
(v e · R 2 + V CC · R 1 )
R 1 + R 2
< 0
soit v e < −
V CC · R 1
R 2
= v
−
e = −5 V
En d’autres termes, tant que la tension d’entrée v e
reste supérieure à – 5 V (v
−
e ), la tension de sortie
v s reste au potentiel + 15 V.
ii. Partons maintenant de l’hypothèse où
v s = -V CC , il en découle que :
v
+ =
(v e · R 2 − V CC · R 1 )
R 1 + R 2
v s basculera de -V CC à +V CC si et seulement si
v + > 0, soit :
v
+ =
(v e · R 2 − V CC · R 1 )
R 1 + R 2
> 0
soit v e >
V CC · R 1
R 2
= v
+
e = +5 V
En d’autres termes, tant que la tension d’entrée v e
reste inférieure à + 5 V (v
+
e ), la tension de sortie
v s reste au potentiel – 15 V.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 625 — #635
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représentant l’impédance de la capacité. Pratiquement, cela signifie
que le courant circule majoritairement dans la
capacité C, celui qui circule dans la résistance R 2
est infiniment petit et tend vers 0.
c) En régime temporel, nous pouvons écrire :
i(t) = C ·
du c (t)
dt
avec u c (t) = −v s (t) ce qui
revient à écrire i(t) = −C ·
dv s (t)
dt
De même, nous avons :
v e (t) = R 1 · i(t) ⇒ i(t) =
v e (t)
R 1
⇒
v e (t)
R 1
= −C ·
dv s (t)
dt
soit ⇒ v s (t) = −
1
R 1 C
v e (t) dt
Le signal de sortie est par conséquent l’intégrale
du signal appliqué à l’entrée à condition que celuici soit de fréquence supérieure à f c .
Remarque
Ce circuit est particulièrement intéressant. Il a,
d’une certaine façon, une double utilisation. Son
comportement fréquentiel est celui d’un filtre actif
passe-bas dont le gain et la fréquence de coupure
peuvent être ajustées selon les valeurs de R 1 , R 2 et
C. Il peut également réaliser la fonction d’intégration si la fréquence du signal à l’entrée est supérieure à fc. A ce titre, on trouvera ce circuit dans
la littérature sous l’appellation pseudo-intégrateur
dans la mesure où la fonction d’intégration n’est
pas assurée dans toute la bande de fréquence.
24.3 a) On remarque que la rétroaction s’effectue sur l’entrée non inverseuse de l’AOP ce
qui laisse penser qu’il s’agit d’une rétroaction
positive. Par un effet cumulatif du potentiel sur
l’entrée non inverseuse (voir § 24.2.2 (b)), l’AOP
fonctionne alors en régime non linéaire et sa tension de sortie ne pourra prendre que deux valeurs,
soit + V CC , soit – V CC .
L’AOP fonctionne alors en comparateur. Le signe
de la tension de sortie dépend du signe de ´ selon
le principe suivant :
• si v
+ > v
− (´ > 0), alors
v s = +V CC = +15 V
• si v
+ < v
− (´ < 0), alors
v s = −V CC = −15 V
L’entrée inverseuse étant reliée à la masse, déterminons le potentiel sur l’entrée non inverseuse.
Par application du théorème de Millman, nous
pouvons écrire :
v
+ =
v e
R 1
+
v s
R 2
1
R 1
+
1
R 2
soit v
+ =
(v e · R 2 + v s · R 1 )
R 1 + R 2
i. Partons de l’hypothèse où v s = +V CC , il en
découle que :
v
+ =
(v e · R 2 + V CC · R 1 )
R 1 + R 2
v s basculera de +V CC à –V CC si et seulement si
v + < 0 soit :
v
+ =
(v e · R 2 + V CC · R 1 )
R 1 + R 2
< 0
soit v e < −
V CC · R 1
R 2
= v
−
e = −5 V
En d’autres termes, tant que la tension d’entrée v e
reste supérieure à – 5 V (v
−
e ), la tension de sortie
v s reste au potentiel + 15 V.
ii. Partons maintenant de l’hypothèse où
v s = -V CC , il en découle que :
v
+ =
(v e · R 2 − V CC · R 1 )
R 1 + R 2
v s basculera de -V CC à +V CC si et seulement si
v + > 0, soit :
v
+ =
(v e · R 2 − V CC · R 1 )
R 1 + R 2
> 0
soit v e >
V CC · R 1
R 2
= v
+
e = +5 V
En d’autres termes, tant que la tension d’entrée v e
reste inférieure à + 5 V (v
+
e ), la tension de sortie
v s reste au potentiel – 15 V.
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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