SOLUTIONS DES EXERCICES
Chapitre 24
d’où
v e1 =
R 3 + R 4
R 3
·
v e1 −
v e2 R 2
R 1 + R 2
+ v s
⇒ v s = v e1 −
(R 3 + R 4 ) v e1
R 3
+
(R 3 + R 4 ) R 2 v e2
R 3 (R 1 + R 2 )
En réduisant au même dénominateur, il vient :
v s = −v e1
R 4
R 3
+
(R 3 + R 4 ) R 2 v e2
R 3 (R 1 + R 2 )
⇒ v s = −
R 4
R 3
·
v e1 −
(R 3 + R 4 ) R 2 v e2
R 4 (R 1 + R 2 )
b) Pour que le signal de sortie puisse se mettre
sous la forme v s = K
v e1 − v e2
, il faut que :
(R 3 + R 4 ) R 2
R 4 (R 1 + R 2 )
= 1 ⇒
(R 3 + R 4 )
R 4
=
(R 1 + R 2 )
R 2
soit
R 3
R 4
=
R 1
R 2
Cette relation vérifiée, le signal de sortie s’écrit :
v s = −
R 4
R 3
·
v e1 − v e2
avec K = −
R 4
R 3
On constate ici aussi que l’expression du signal
de sortie est indépendante de A d gain de l’AOP.
Celui-ci étant infini, l’expression de v s ne dépend
que des résistances du montage.
24.2 a) La tension différentielle ´ = 0 car
l’AOP est ici aussi idéal. La borne inverseuse de
l’AOP se comporte alors comme une masse virtuelle et ramène un potentiel nul entre les dipôles
constitués par R 1 d’un coté et R 2 en parallèle avec
C de l’autre. Ces deux dipôles étant traversés par
le même courant i dans la mesure où l’impédance
différentielle de l’AOP Z e est ici infinie. Le générateur délivrant une tension sinusoïdale, nous utiliserons ici la notation complexe. Nous pouvons
par conséquent écrire :
V e = R 1 I et V s = −Z I avec
Z =
R 2
jCv
R 2 +
1
jCv
=
R 2
1 + j R 2 Cv
d’où : A v = −
R 2
R 1
·
1
1 + j R 2 Cv
Expression que l’on peut identifier avec la fonction de transfert d’un filtre actif passe-bas du premier ordre de la forme :
A v =
A v0
1 + j ·
f
f c
Par identification, on en déduit que le gain maximum A v0 = −
R 2
R 1
= −10
d’où A v0 (en dB) = 20 log |A v0 | = 20 dB
et la fréquence de coupure du filtre f c =
1
2pR 2 C
= 159 Hz.
Par opposition aux filtres passifs dont le gain
maximum ne peut être supérieur à 0 dB, il est
donc possible ici d’ajuster le gain dans la bande
passante par un choix judicieux des résistances
R 1 et R 2 . La fréquence de coupure ne dépendant
que de R 2 et C.
Nous pouvons représenter graphiquement l’évolution fréquentielle du module de la fonction de
transfert.
(Av) dB
f (Hz)
159
17
20
Pente −20 dB/décade
b) Lorsque la fréquence de travail f f c , le
terme R 2 Cv devient prépondérant devant 1 (soit
R 2 Cv 1) dans l’expression du gain A v . Celui-ci
s’écrit alors :
A v = −
1
j R 1 Cv
Le schéma du montage simplifié est le suivant :
ve
v+
v−
vs
ε
i
C
R1
uc(t)
624
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 624 — #634
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Chapitre 24
d’où
v e1 =
R 3 + R 4
R 3
·
v e1 −
v e2 R 2
R 1 + R 2
+ v s
⇒ v s = v e1 −
(R 3 + R 4 ) v e1
R 3
+
(R 3 + R 4 ) R 2 v e2
R 3 (R 1 + R 2 )
En réduisant au même dénominateur, il vient :
v s = −v e1
R 4
R 3
+
(R 3 + R 4 ) R 2 v e2
R 3 (R 1 + R 2 )
⇒ v s = −
R 4
R 3
·
v e1 −
(R 3 + R 4 ) R 2 v e2
R 4 (R 1 + R 2 )
b) Pour que le signal de sortie puisse se mettre
sous la forme v s = K
v e1 − v e2
, il faut que :
(R 3 + R 4 ) R 2
R 4 (R 1 + R 2 )
= 1 ⇒
(R 3 + R 4 )
R 4
=
(R 1 + R 2 )
R 2
soit
R 3
R 4
=
R 1
R 2
Cette relation vérifiée, le signal de sortie s’écrit :
v s = −
R 4
R 3
·
v e1 − v e2
avec K = −
R 4
R 3
On constate ici aussi que l’expression du signal
de sortie est indépendante de A d gain de l’AOP.
Celui-ci étant infini, l’expression de v s ne dépend
que des résistances du montage.
24.2 a) La tension différentielle ´ = 0 car
l’AOP est ici aussi idéal. La borne inverseuse de
l’AOP se comporte alors comme une masse virtuelle et ramène un potentiel nul entre les dipôles
constitués par R 1 d’un coté et R 2 en parallèle avec
C de l’autre. Ces deux dipôles étant traversés par
le même courant i dans la mesure où l’impédance
différentielle de l’AOP Z e est ici infinie. Le générateur délivrant une tension sinusoïdale, nous utiliserons ici la notation complexe. Nous pouvons
par conséquent écrire :
V e = R 1 I et V s = −Z I avec
Z =
R 2
jCv
R 2 +
1
jCv
=
R 2
1 + j R 2 Cv
d’où : A v = −
R 2
R 1
·
1
1 + j R 2 Cv
Expression que l’on peut identifier avec la fonction de transfert d’un filtre actif passe-bas du premier ordre de la forme :
A v =
A v0
1 + j ·
f
f c
Par identification, on en déduit que le gain maximum A v0 = −
R 2
R 1
= −10
d’où A v0 (en dB) = 20 log |A v0 | = 20 dB
et la fréquence de coupure du filtre f c =
1
2pR 2 C
= 159 Hz.
Par opposition aux filtres passifs dont le gain
maximum ne peut être supérieur à 0 dB, il est
donc possible ici d’ajuster le gain dans la bande
passante par un choix judicieux des résistances
R 1 et R 2 . La fréquence de coupure ne dépendant
que de R 2 et C.
Nous pouvons représenter graphiquement l’évolution fréquentielle du module de la fonction de
transfert.
(Av) dB
f (Hz)
159
17
20
Pente −20 dB/décade
b) Lorsque la fréquence de travail f f c , le
terme R 2 Cv devient prépondérant devant 1 (soit
R 2 Cv 1) dans l’expression du gain A v . Celui-ci
s’écrit alors :
A v = −
1
j R 1 Cv
Le schéma du montage simplifié est le suivant :
ve
v+
v−
vs
ε
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