SOLUTIONS DES EXERCICES
petits angles, a/b = IP’/IP. Or la 3
e loi de SnellDescartes appliquée aux petits angles pour le
dioptre eau-air donne a/b = 1/n. On en déduit :
I P ′ /I P = 1/n = 0,75.
α
β
L’image P’ de P est vue 25 % plus proche de la
surface de l’eau que la position réelle de P.
Remarque
Le même résultat peut être obtenu à partir de la
relation de conjugaison d’un dioptre plan.
Chapitre 13
13.1 L’équation est Ldi/ dt + q/C = 0 qui
conduit à : d
2 q/ dt
2 + q/LC = 0. C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation
v 0 = 1/(LC)
1/2 indépendante du temps. On vérifie
que [v 0 ] = 1/T
2 .
13.2 On trouve l 1 = l 0 + mg/k. L’équation
d’évolution de l’élongation x est :
md
2 x/dt
2 = – kx – k · (l 1 – l 0 – mg/k).
Le dernier terme est nul et on a md
2 x/ dt
2 = – kx.
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de
pulsation v 0
2 = k/m comme dans le cas d’un ressort oscillant sur un plan horizontal sans frottement. La différence ici est que l’oscillation se fait
autour de la nouvelle position d’équilibre l 1 .
13.3 On a Ldi/ dt + R · i + q/C = 0, qui devient
d
2 q/ dt
2 + R · dq/ dt + q/LC = 0, de la forme de
l’équation (13.5) du cours avec g = R. L’amortissement est dû à la présence de la résistance.
Il y amortissement critique si v 0 = g/2, soit
g = 2/(LC)
1/2 .
13.4 La période d’un pendule de longueur l dans le champ de pesanteur g est
T = 2p(l/g)
1/2 = 15,1 s. Ce résultat ne dépend
pas de la masse de l’objet oscillant.
13.5 T = 2p(l/g)
1/2 = 35,3 s. On a
1/2mv
2 = 1/2m(v 0 A)
2
soit :
v = v 0 A = (g/l)
1/2 A = 2,3 cm · s
–1 .
13.6 T = r(2Ln 1 )
2 = 0,4 · 10
–3 · (2 · 1 · 440)
2
≈ 310 N.
13.7 On applique la formule pour un tuyau
fermé à l’une de ses extrémités : V = v/ 4L (pour
le mode 1), avec V = 340 m · s
–1 la vitesse du
son dans l’air à 20
◦ C. On trouve n = 340/(4 ·
0,03) = 2,9 kHz. On est bien dans le domaine des
sons audibles (20-20 000 Hz).
Chapitre 14
14.1 Si les deux intensités sont différentes, on a
I max = I 1 + I 2 +2
I 1 I 2 et I min = I 1 + I 2 −2
I 1 I 2 ,
d’où le résultat.
14.2 D’après le cours, on a :
Dl =
l
N
=
577,1
274
= 2,106 nm.
L’incertitude sur cette mesure est :
d(Dl) = Dl
dN
N
≈ 8 · 10
−3 .
D’où, Dl = 2,106 ± 0,008 nm.
14.3 L’image est une tache centrée sur le foyer
image de la lentille de diamètre
1,22 · lf / D = 5 mm.
14.4 Avec l = 550 nm, on a f = 1, 22l ·
d œil /d = 7, 4·10
−6 m, soit 7,4 mm. L’image d’un
point éloigné se forme dans le plan de la rétine
(plan focal du cristallin). Il faut que les deux
images soient séparées sur la rétine, donc que
leurs centres soient distants d’au moins 7,4 mm.
À la limite, les images sont distantes de 7,4 mm,
et l’angle sous lesquelles les étoiles sont vues est :
f/d œil = 7, 4 · 10
−3 /22 = 3, 4 · 10
−4 radians.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 611 — #621
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petits angles, a/b = IP’/IP. Or la 3
e loi de SnellDescartes appliquée aux petits angles pour le
dioptre eau-air donne a/b = 1/n. On en déduit :
I P ′ /I P = 1/n = 0,75.
α
β
L’image P’ de P est vue 25 % plus proche de la
surface de l’eau que la position réelle de P.
Remarque
Le même résultat peut être obtenu à partir de la
relation de conjugaison d’un dioptre plan.
Chapitre 13
13.1 L’équation est Ldi/ dt + q/C = 0 qui
conduit à : d
2 q/ dt
2 + q/LC = 0. C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation
v 0 = 1/(LC)
1/2 indépendante du temps. On vérifie
que [v 0 ] = 1/T
2 .
13.2 On trouve l 1 = l 0 + mg/k. L’équation
d’évolution de l’élongation x est :
md
2 x/dt
2 = – kx – k · (l 1 – l 0 – mg/k).
Le dernier terme est nul et on a md
2 x/ dt
2 = – kx.
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de
pulsation v 0
2 = k/m comme dans le cas d’un ressort oscillant sur un plan horizontal sans frottement. La différence ici est que l’oscillation se fait
autour de la nouvelle position d’équilibre l 1 .
13.3 On a Ldi/ dt + R · i + q/C = 0, qui devient
d
2 q/ dt
2 + R · dq/ dt + q/LC = 0, de la forme de
l’équation (13.5) du cours avec g = R. L’amortissement est dû à la présence de la résistance.
Il y amortissement critique si v 0 = g/2, soit
g = 2/(LC)
1/2 .
13.4 La période d’un pendule de longueur l dans le champ de pesanteur g est
T = 2p(l/g)
1/2 = 15,1 s. Ce résultat ne dépend
pas de la masse de l’objet oscillant.
13.5 T = 2p(l/g)
1/2 = 35,3 s. On a
1/2mv
2 = 1/2m(v 0 A)
2
soit :
v = v 0 A = (g/l)
1/2 A = 2,3 cm · s
–1 .
13.6 T = r(2Ln 1 )
2 = 0,4 · 10
–3 · (2 · 1 · 440)
2
≈ 310 N.
13.7 On applique la formule pour un tuyau
fermé à l’une de ses extrémités : V = v/ 4L (pour
le mode 1), avec V = 340 m · s
–1 la vitesse du
son dans l’air à 20
◦ C. On trouve n = 340/(4 ·
0,03) = 2,9 kHz. On est bien dans le domaine des
sons audibles (20-20 000 Hz).
Chapitre 14
14.1 Si les deux intensités sont différentes, on a
I max = I 1 + I 2 +2
I 1 I 2 et I min = I 1 + I 2 −2
I 1 I 2 ,
d’où le résultat.
14.2 D’après le cours, on a :
Dl =
l
N
=
577,1
274
= 2,106 nm.
L’incertitude sur cette mesure est :
d(Dl) = Dl
dN
N
≈ 8 · 10
−3 .
D’où, Dl = 2,106 ± 0,008 nm.
14.3 L’image est une tache centrée sur le foyer
image de la lentille de diamètre
1,22 · lf / D = 5 mm.
14.4 Avec l = 550 nm, on a f = 1, 22l ·
d œil /d = 7, 4·10
−6 m, soit 7,4 mm. L’image d’un
point éloigné se forme dans le plan de la rétine
(plan focal du cristallin). Il faut que les deux
images soient séparées sur la rétine, donc que
leurs centres soient distants d’au moins 7,4 mm.
À la limite, les images sont distantes de 7,4 mm,
et l’angle sous lesquelles les étoiles sont vues est :
f/d œil = 7, 4 · 10
−3 /22 = 3, 4 · 10
−4 radians.
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