SOLUTIONS DES EXERCICES
Chapitre 10
Conclusion : Un faible écart de température
entre les deux sources de chaleur conduit à une
valeur élevée de l’efficacité... mais la machine a
aussi moins d’intérêt. Inversement, un écart de
température important entre les deux sources de
chaleur conduit à une faible valeur de l’efficacité.
9.3 a) Au cours de son fonctionnement, la PAC
extrait la quantité de chaleur Q f de la source
froide constituée par l’atmosphère et fournit la
quantité de chaleur Q c à la source chaude constituée par la piscine. En d’autres termes : Q c = –
Q eau
Or, dQ eau = m e .c e .dT avec m e = r.V
D’où, Q eau = rVc e .DT = rVc e (T fin – T init ) = 100
x 1000 x 4185 x (27 – 15) = 5 022 · 10
6 J
Soit :
Q c = – Q eau = – 5 022 MJ
b) La PAC fonctionnant de manière réversible,
l’application du deuxième principe de la thermodynamique, donne :
T f , f inal
T f ,initial
dQ f
T f
+
Tc, f inal
Tc,initial
dQ c
T c
= 0
avec dQ c = – dQ eau = – rVc e dT
Comme T f est constante :
T f , f inal
T f ,initial
dQ f
T f
=
1
T f
T f , f inal
T f ,initial
dQ f =
Q f
T f
D’où : Q f = −T f ·
Tc, f inal
Tc,initial
dQ c
T c
= −T f ·
300
288
−rV c e dT c
T c
Q f = rV c e T f ln
300
288
= 100 × 10
3 × 4 185 ×
288 ln
300
288
= 4 920,2 · 10
6 J = 4 920,2 MJ
c) La température de la source chaude n’étant
pas constante, on ne peut pas utiliser l’expression
de l’efficacité de Carnot, même si le cycle est
réversible. D’où :
e P AC =
−Q c
W
=
−5022
−5022 + 4920,2
= 49,3
Chapitre 10
10.1
Loi de Fourier : #–
w = −l
#–
∇T
En coordonnées radiales,
f = S(r ) w = −l S(r )
dT
dr
et S(r ) = 2 p r L
Donc :
f
2 p l L
dr
r
= dT , soit en intégrant :
f
2 p l L
[ln r ]
R1
R2 = [T ]
T1
T2 .
Pour un cylindre de longueur unitaire L = 1, on
obtient finalement :
f L =
2 p l (T 2 − T 1 )
ln
R 1 /R 2
Puissance thermique dissipée par effet joule :
P = U i = R i
2 .
Soit ici :
f max = R i
2
max .
La résistance électrique du câble de cuivre vaut
R élec =
L
g S
, où g est la conductivité électrique
du cuivre. Cette expression est à rapprocher de
celle de la résistance thermique : R th =
L
l S
, où
l est la conductivité thermique.
Résistivité du cuivre : r =
1
g
On a donc :R élec =
r L
S
.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 608 — #618
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Conclusion : Un faible écart de température
entre les deux sources de chaleur conduit à une
valeur élevée de l’efficacité... mais la machine a
aussi moins d’intérêt. Inversement, un écart de
température important entre les deux sources de
chaleur conduit à une faible valeur de l’efficacité.
9.3 a) Au cours de son fonctionnement, la PAC
extrait la quantité de chaleur Q f de la source
froide constituée par l’atmosphère et fournit la
quantité de chaleur Q c à la source chaude constituée par la piscine. En d’autres termes : Q c = –
Q eau
Or, dQ eau = m e .c e .dT avec m e = r.V
D’où, Q eau = rVc e .DT = rVc e (T fin – T init ) = 100
x 1000 x 4185 x (27 – 15) = 5 022 · 10
6 J
Soit :
Q c = – Q eau = – 5 022 MJ
b) La PAC fonctionnant de manière réversible,
l’application du deuxième principe de la thermodynamique, donne :
T f , f inal
T f ,initial
dQ f
T f
+
Tc, f inal
Tc,initial
dQ c
T c
= 0
avec dQ c = – dQ eau = – rVc e dT
Comme T f est constante :
T f , f inal
T f ,initial
dQ f
T f
=
1
T f
T f , f inal
T f ,initial
dQ f =
Q f
T f
D’où : Q f = −T f ·
Tc, f inal
Tc,initial
dQ c
T c
= −T f ·
300
288
−rV c e dT c
T c
Q f = rV c e T f ln
300
288
= 100 × 10
3 × 4 185 ×
288 ln
300
288
= 4 920,2 · 10
6 J = 4 920,2 MJ
c) La température de la source chaude n’étant
pas constante, on ne peut pas utiliser l’expression
de l’efficacité de Carnot, même si le cycle est
réversible. D’où :
e P AC =
−Q c
W
=
−5022
−5022 + 4920,2
= 49,3
Chapitre 10
10.1
Loi de Fourier : #–
w = −l
#–
∇T
En coordonnées radiales,
f = S(r ) w = −l S(r )
dT
dr
et S(r ) = 2 p r L
Donc :
f
2 p l L
dr
r
= dT , soit en intégrant :
f
2 p l L
[ln r ]
R1
R2 = [T ]
T1
T2 .
Pour un cylindre de longueur unitaire L = 1, on
obtient finalement :
f L =
2 p l (T 2 − T 1 )
ln
R 1 /R 2
Puissance thermique dissipée par effet joule :
P = U i = R i
2 .
Soit ici :
f max = R i
2
max .
La résistance électrique du câble de cuivre vaut
R élec =
L
g S
, où g est la conductivité électrique
du cuivre. Cette expression est à rapprocher de
celle de la résistance thermique : R th =
L
l S
, où
l est la conductivité thermique.
Résistivité du cuivre : r =
1
g
On a donc :R élec =
r L
S
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