SOLUTIONS DES EXERCICES
Chapitre 3
2v
2
1 + gv
2
0 − 2v 0 v 1 cos a = 0.
Chapitre 3
3.1 a) i. Dans R ’, le propriétaire suit un mouvement rectiligne uniforme, d’équation : x’ = v R t.
Dans R , on peut donner les coordonnées polaires
de l’homme : r = v R t ; u(t) = vt, ce qui donne
r =
v R
v
u, c’est l’équation d’une spirale.
ii. Dans le système cylindrique, on peut écrire :
#– v r = v R · #– u r et #– v e = #–
v ∧
# –
O M = (v · #– u z ) ∧
v R t · #– u r
= vv R t · #– u u
Donc, #– v a = v R · #– u r + vv R t · #– u u
iii. De même pour l’accélération absolue :
#– a r =
#–
0 , #– a e = #–
v ∧
#–
v ∧
# –
O M
= −v
2 v R t ·
#– u r , #– a c = 2 #–
v ∧ #– v r = 2vv R · #– u u
Donc, #– a a = −v
2 v R t · #– u r + 2vv R · #– u u
NB : on retrouve ces résultats en dérivant par
rapport au temps le vecteur position dans R :
# –
O M = r · #– u r .
b) i. Dans R ’, l’homme décrit un cercle de
centre O et de rayon r 0 . Dans R , on a les coordonnées polaires suivantes pour l’homme :
r = r 0 = cste ; u(t) = (v + v
′ ).t.
Cela correspond aussi à une trajectoire circulaire
dans R .
ii. Dans le système cylindrique, on a :
#– v r = r 0 .v
′ . #– u u et #– v e = #–
v ∧
# –
O M = (v. #– u z ) ∧
r 0 . #– u r
= v.r 0 . #– u u
Donc, #– v a = (v + v
′ ).r 0 . #– u u
iii. Pour l’accélération absolue :
#– a r = −r 0 .v
′2 . #– u r , #– a e = #–
v ∧
#–
v ∧
# –
O M
=
−v
2 .r 0 . #– u r , #– a c = 2. #–
v ∧ #– v r = −2.v.v
′ .r 0 .t. #– u r
Donc, #– a a = −r 0 .(v + v
′ )
2 . #– u r
3.2 a) Dans R , le mouvement de la goutte P est
défini par :
# –
O P = (h − vt) ·
#–
k
On note le point O’ matérialisant le passant. On
peut écrire :
# –
O
′ P =
# –
O
′ O +
# –
O P
On sait que :
# –
O
′ O = −V t ·
#–
i ; donc,
# –
O
′ P = −V t ·
#–
i + (h − vt) ·
#–
k
Cependant, le référentiel R ’ (mobile, lié au passant) est en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel R (fixe, lié à la Terre). Donc,
#–
i
′ =
#–
i et
#–
k
′ =
#–
k . Donc dans R ’, les composantes de la goutte P sont : x’ = - Vt ; z’ = h - vt.
On peut écrire : z
′ =
v
V
x
′ + h ; c’est l’équation d’une droite affine de pente
v
V
.
b) Le vecteur
# –
O P est le même. En tenant compte
de la pente, on a :
# –
O
′ O = −V t cos u ·
#–
i − V t sin u ·
#–
k ;
les vecteurs
#–
i et
#–
k ont les expressions suivantes :
#–
i = cos u ·
#–
i
′ − sin u ·
#–
k
′ et
#–
k = sin u ·
#–
i
′ +
cos u ·
#–
k
′ (
#–
i
′ et
#–
k
′ sont respectivement parallèle
et perpendiculaire à la pente).
On a donc :
# –
O
′ P = −V t cos u ·
#–
i + [(h − vt) − V t sin u] ·
#–
k .
En remplaçant les vecteurs
#–
i et
#–
k par leurs
expressions en fonction de
#–
i
′ et
#–
k
′ , et en exprimant z’ en fonction de x’, on obtient à nouveau
l’équation d’une droite :
z
′ =
v cos u
v sin u + V
x
′ +
hV cos u
v sin u + V
3.3 a) On note R le référentiel fixe lié à la rive
de départ (origine A, axes AX et AY respectivement parallèle et perpendiculaire à la rive) et R ’
le référentiel mobile lié à l’eau. R ’ est en translation rectiligne uniforme par rapport à R : on note
son origine A’ confondu avec A à t = 0.
On a donc la vitesse de l’eau comme vitesse d’entraînement : #– v e = V ·
#–
i . De plus le nageur
se déplace dans R ’ suivant l’axe A’Y’ : donc,
#– v r = v ·
#–
j
′ = v ·
#–
j .
Donc, #– v a = V ·
#–
i + v ·
#–
j ; par conséquent, on
a :
# –
AM = V t ·
#–
i + vt ·
#–
j ; on obtient alors
l’équation de la trajectoire : y M =
v
V
x M . Le
nageur aborde donc la rive opposée quand y M = D,
donc avec x M =
V
v
D. Le temps de nage est
t =
D
v
.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 596 — #606
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