SOLUTIONS DES EXERCICES
on a : −
GM T m
r n
+
GM L m
d − r n
= 0, on trouve donc :
r n =
d
M L
M T
1 +
M L
M T
.
En remplaçant r n par son expression dans la relation trouvée plus haut donnant v 0 , on trouve
v 0 = 11,1 km · s
–1 .
2.10 a) On applique le PFD :
#–
P +
#–
T = m · #– a .
On rappelle l’expression de l’accélération dans le
repère polaire :
#– a =
••
r − r
•
u
2
· #– u r +
2
•
r
•
u + r
••
u
· #– u u ; comme
r = L, on a
•
r =
••
r = 0.
On a donc : #– a =
−L
•
u
2
· #– u r +
L
••
u
· #– u u
On projette la relation issue du PFD sur #– u u , et on
obtient :
−mg sin u = m L
••
u, soit
••
u +
g
L
sin u = 0
b) Quand u est petit, on peut écrire sin u ≈ u ;
l’équation différentielle du mouvement devient :
••
u +
g
L
u = 0
La solution de l’équation est :
u 1 = u 0 cos(vt + f),
avec v la pulsation
v =
g
L
et T la période
définie par T =
2p
v
= 2p
L
g
.
c) On peut écrire la conservation de l’énergie
mécanique. À noter que la force
#–
T ne travaille pas
car elle s’exerce perpendiculairement au déplacement. Donc seule l’énergie potentielle gravitationnelle intervient. Cette énergie peut s’écrire en
fonction de l’angle u comme suit :
E p (u) = −mgx + E 0 = −mgL cos u + E 0
(E 0 est une constante)
La vitesse dans le repère polaire vaut : #– v =
•
r · #– u r + r
•
u · #– u u , soit #– v = L
•
u · #– u u , donc, l’énergie
cinétique s’écrit : E c =
1
2
m L
2
•
u
2
.
On obtient donc l’expression de l’énergie mécanique E m :
E m =
1
2
m L
2
•
u
2
− mgL cos u + E 0
Comme E m est constante, on peut dériver son
expression par rapport au temps. Donc :
dE m
dt
= 0 = m L
2
••
u
•
u + mgL
•
u sin u ;
on arrive donc à la même équation différentielle
du mouvement :
••
u +
g
L
sin u = 0.
2.11 a) La conservation de la quantité de mouvement donne :
m · #– v 0 + 0 = m · #– v 1 + m · #– v 2 soit #– v 0 = #– v 1 + #– v 2
On projette cette relation respectivement suivant
un axe parallèle à #– v 0 (dans le sens de #– v 0 ) et suivant un axe perpendiculaire à #– v 0 (dirigé vers le
haut) ; on obtient : v 0 = v 1 cos(30) + v 2 cos(45)
et 0 = −v 1 sin(30) + v 2 sin(45)
On obtient alors les relations suivantes :
v 1
v 2
=
√
2 et v 1 = v 0
2
1 +
√
3
,
v 2 = v 0
√
2
1 +
√
3
L’énergie cinétique totale finale s’écrit :
E cf =
1
2
mv
2
1 +
1
2
mv
2
2
On peut donc écrire E cf en fonction de l’énergie
cinétique initiale E ci =
1
2
mv
2
0 :
E cf = E ci
3
2 +
√
3
L’énergie cinétique perdue vaut : DE c = E cf −
E ci = 19,6 eV ; la collision est donc inélastique.
b) En reprenant la méthode suivie à la question
a), dans le cas général, on obtient l’équation :
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 595 — #605
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on a : −
GM T m
r n
+
GM L m
d − r n
= 0, on trouve donc :
r n =
d
M L
M T
1 +
M L
M T
.
En remplaçant r n par son expression dans la relation trouvée plus haut donnant v 0 , on trouve
v 0 = 11,1 km · s
–1 .
2.10 a) On applique le PFD :
#–
P +
#–
T = m · #– a .
On rappelle l’expression de l’accélération dans le
repère polaire :
#– a =
••
r − r
•
u
2
· #– u r +
2
•
r
•
u + r
••
u
· #– u u ; comme
r = L, on a
•
r =
••
r = 0.
On a donc : #– a =
−L
•
u
2
· #– u r +
L
••
u
· #– u u
On projette la relation issue du PFD sur #– u u , et on
obtient :
−mg sin u = m L
••
u, soit
••
u +
g
L
sin u = 0
b) Quand u est petit, on peut écrire sin u ≈ u ;
l’équation différentielle du mouvement devient :
••
u +
g
L
u = 0
La solution de l’équation est :
u 1 = u 0 cos(vt + f),
avec v la pulsation
v =
g
L
et T la période
définie par T =
2p
v
= 2p
L
g
.
c) On peut écrire la conservation de l’énergie
mécanique. À noter que la force
#–
T ne travaille pas
car elle s’exerce perpendiculairement au déplacement. Donc seule l’énergie potentielle gravitationnelle intervient. Cette énergie peut s’écrire en
fonction de l’angle u comme suit :
E p (u) = −mgx + E 0 = −mgL cos u + E 0
(E 0 est une constante)
La vitesse dans le repère polaire vaut : #– v =
•
r · #– u r + r
•
u · #– u u , soit #– v = L
•
u · #– u u , donc, l’énergie
cinétique s’écrit : E c =
1
2
m L
2
•
u
2
.
On obtient donc l’expression de l’énergie mécanique E m :
E m =
1
2
m L
2
•
u
2
− mgL cos u + E 0
Comme E m est constante, on peut dériver son
expression par rapport au temps. Donc :
dE m
dt
= 0 = m L
2
••
u
•
u + mgL
•
u sin u ;
on arrive donc à la même équation différentielle
du mouvement :
••
u +
g
L
sin u = 0.
2.11 a) La conservation de la quantité de mouvement donne :
m · #– v 0 + 0 = m · #– v 1 + m · #– v 2 soit #– v 0 = #– v 1 + #– v 2
On projette cette relation respectivement suivant
un axe parallèle à #– v 0 (dans le sens de #– v 0 ) et suivant un axe perpendiculaire à #– v 0 (dirigé vers le
haut) ; on obtient : v 0 = v 1 cos(30) + v 2 cos(45)
et 0 = −v 1 sin(30) + v 2 sin(45)
On obtient alors les relations suivantes :
v 1
v 2
=
√
2 et v 1 = v 0
2
1 +
√
3
,
v 2 = v 0
√
2
1 +
√
3
L’énergie cinétique totale finale s’écrit :
E cf =
1
2
mv
2
1 +
1
2
mv
2
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On peut donc écrire E cf en fonction de l’énergie
cinétique initiale E ci =
1
2
mv
2
0 :
E cf = E ci
3
2 +
√
3
L’énergie cinétique perdue vaut : DE c = E cf −
E ci = 19,6 eV ; la collision est donc inélastique.
b) En reprenant la méthode suivie à la question
a), dans le cas général, on obtient l’équation :
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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