SOLUTIONS DES EXERCICES
b) Cette fois, on impose #– v a = v a ·
#–
j . Donc,
le nageur doit garder une orientation à contrecourant avec un angle a par rapport à la ligne AB.
Ainsi on a : sin a =
V
v
.
Le temps de traversée est t =
D
v cos a
. Comme
v cos a < v, le temps de traversée dans ce cas est
plus long que dans le cas de la question a).
3.4 a) Les forces agissant sur la bille sont le
poids
#–
P , la réaction du support
#–
R(verticale) et la
réaction
#–
N du tube sur la bille. On a d’après le
PFD :
#–
P +
#–
R +
#–
N = m · #– a a , avec
#–
P +
#–
R =
#–
0 ,
donc
#–
N = m · #– a a .
La loi de composition des accélérations donne :
#–
N = m · ( #– a r + #– a e + #– a c )
donc m · #– a r =
#–
N − m · #– a e − m · #– a c .
Comme O et O’ sont confondus et que le plateau tourne à vitesse angulaire constante, #– a e =
#–
v ∧
#–
v ∧
# –
O M
= v·
#–
k
′ ∧
v ·
#–
k
′ ∧ r
′ ·
#–
i
′
=
(−r
′ v
2 ) ·
#–
i
′ , #– a c = 2 · #–
v ∧ #– v r =
2v ·
#–
k
′
∧
•
r
′ ·
#–
i
′
= 2
•
r
′ v ·
#–
j
′ .
À noter aussi que
#–
N est perpendiculaire au tube
et dans le sens de la rotation du tube, donc
#–
N =
#–
N
·
#–
j
′ = N ·
#–
j
′ . De plus, #– a r est dirigée selon
#–
i
′ . On trouve alors a r = r
′ v
2 et N = 2m
•
r
′ v (
#–
N
est donc opposée à la force de Coriolis)
Dans R ’, la bille a un mouvement rectiligne dans
le tube.
b) Dans R , le point B représente la bille. Dans
le repère polaire, on a :
# –
O B = r · #– u r et m ·
d
2 # –
O B
dt 2 =
m
••
r − r
•
u
2
· #– u r + m
2
•
r
•
u + r
••
u
· #– u u = N · #– u u
Donc, on peut écrire : m
••
r − r
•
u
2
= 0 et
2m
•
r
•
u = N , avec
•
u = v.
On obtient alors l’équation
••
r − r v
2 = 0 ; l’équation caractéristique correspondante est : x
2 −
v
2 = 0, dont la solution générale est (quand t
tend vers l’infini) :
r (t) =
r 0
2
e
vt (spirale logarithmique)
3.5 Dans le référentiel R ’ lié à l’ascenseur, on
applique le PFD :
M · #– a
′ =
#–
P +
#–
T − M · #– a e − M · #– a c
On a :
#–
P = −Mg · #– u z ;
#–
T = k(L − L 0 ) · #– u z ;
#– a c = 2 · #–
v ∧ #– v r =
#–
0 car #–
v =
#–
0
#– a e correspond à l’accélération de l’ascenseur
(que l’on cherche).
De plus, on se place dans le cas où la masse
occupe une position fixe dans R ’, donc avec
#– a
′ =
#–
0 . Ainsi, on peut écrire :
#–
0 = −Mg · #– u z + k(L − L 0 ) · #– u z − M · #– a e ,
#– a e =
k
M
(L − L 0 ) − g
· #– u z .
Si on considère le cas où l’ascenseur est non
accéléré avec la longueur L R du ressort, alors :
#–
0 =
k
M
(L R − L 0 ) − g
· #– u z
soit
k
M
· (L R − L 0 ) − g = 0.
Donc
k
M
=
g
(L R − L 0 )
; par conséquent, on a :
#– a e = g
(L − L R )
(L R − L 0 )
· #– u z .
On voit donc qu’on peut relativement aisément
mesurer l’accélération de l’ascenseur.
3.6 a) Le blé pousse suivant la réaction du support
#–
R. On doit donc déterminer l’expression de
#–
R dans R ’.
b) Le PFD permet d’écrire :
#–
P +
#–
R − m · #– a e − m · #– a c = m · #– a r
On a #– a r =
#–
0 et #– a c =
#–
0 (graine fixe) ;
#–
P =
−mg ·
#–
k
′ . Donc,
#–
R = mg ·
#–
k
′ − mv
2 r
′ ·
#–
i
′ .
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
597
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 597 — #607
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b) Cette fois, on impose #– v a = v a ·
#–
j . Donc,
le nageur doit garder une orientation à contrecourant avec un angle a par rapport à la ligne AB.
Ainsi on a : sin a =
V
v
.
Le temps de traversée est t =
D
v cos a
. Comme
v cos a < v, le temps de traversée dans ce cas est
plus long que dans le cas de la question a).
3.4 a) Les forces agissant sur la bille sont le
poids
#–
P , la réaction du support
#–
R(verticale) et la
réaction
#–
N du tube sur la bille. On a d’après le
PFD :
#–
P +
#–
R +
#–
N = m · #– a a , avec
#–
P +
#–
R =
#–
0 ,
donc
#–
N = m · #– a a .
La loi de composition des accélérations donne :
#–
N = m · ( #– a r + #– a e + #– a c )
donc m · #– a r =
#–
N − m · #– a e − m · #– a c .
Comme O et O’ sont confondus et que le plateau tourne à vitesse angulaire constante, #– a e =
#–
v ∧
#–
v ∧
# –
O M
= v·
#–
k
′ ∧
v ·
#–
k
′ ∧ r
′ ·
#–
i
′
=
(−r
′ v
2 ) ·
#–
i
′ , #– a c = 2 · #–
v ∧ #– v r =
2v ·
#–
k
′
∧
•
r
′ ·
#–
i
′
= 2
•
r
′ v ·
#–
j
′ .
À noter aussi que
#–
N est perpendiculaire au tube
et dans le sens de la rotation du tube, donc
#–
N =
#–
N
·
#–
j
′ = N ·
#–
j
′ . De plus, #– a r est dirigée selon
#–
i
′ . On trouve alors a r = r
′ v
2 et N = 2m
•
r
′ v (
#–
N
est donc opposée à la force de Coriolis)
Dans R ’, la bille a un mouvement rectiligne dans
le tube.
b) Dans R , le point B représente la bille. Dans
le repère polaire, on a :
# –
O B = r · #– u r et m ·
d
2 # –
O B
dt 2 =
m
••
r − r
•
u
2
· #– u r + m
2
•
r
•
u + r
••
u
· #– u u = N · #– u u
Donc, on peut écrire : m
••
r − r
•
u
2
= 0 et
2m
•
r
•
u = N , avec
•
u = v.
On obtient alors l’équation
••
r − r v
2 = 0 ; l’équation caractéristique correspondante est : x
2 −
v
2 = 0, dont la solution générale est (quand t
tend vers l’infini) :
r (t) =
r 0
2
e
vt (spirale logarithmique)
3.5 Dans le référentiel R ’ lié à l’ascenseur, on
applique le PFD :
M · #– a
′ =
#–
P +
#–
T − M · #– a e − M · #– a c
On a :
#–
P = −Mg · #– u z ;
#–
T = k(L − L 0 ) · #– u z ;
#– a c = 2 · #–
v ∧ #– v r =
#–
0 car #–
v =
#–
0
#– a e correspond à l’accélération de l’ascenseur
(que l’on cherche).
De plus, on se place dans le cas où la masse
occupe une position fixe dans R ’, donc avec
#– a
′ =
#–
0 . Ainsi, on peut écrire :
#–
0 = −Mg · #– u z + k(L − L 0 ) · #– u z − M · #– a e ,
#– a e =
k
M
(L − L 0 ) − g
· #– u z .
Si on considère le cas où l’ascenseur est non
accéléré avec la longueur L R du ressort, alors :
#–
0 =
k
M
(L R − L 0 ) − g
· #– u z
soit
k
M
· (L R − L 0 ) − g = 0.
Donc
k
M
=
g
(L R − L 0 )
; par conséquent, on a :
#– a e = g
(L − L R )
(L R − L 0 )
· #– u z .
On voit donc qu’on peut relativement aisément
mesurer l’accélération de l’ascenseur.
3.6 a) Le blé pousse suivant la réaction du support
#–
R. On doit donc déterminer l’expression de
#–
R dans R ’.
b) Le PFD permet d’écrire :
#–
P +
#–
R − m · #– a e − m · #– a c = m · #– a r
On a #– a r =
#–
0 et #– a c =
#–
0 (graine fixe) ;
#–
P =
−mg ·
#–
k
′ . Donc,
#–
R = mg ·
#–
k
′ − mv
2 r
′ ·
#–
i
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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