SOLUTIONS DES EXERCICES
Chapitre 2
Chapitre 2
2.1 a) , b). et c) Poids appliqué au projectile +
PFD :
#–
P = m · #– g = m · #– a , donc #– a = #– g . Donc
par intégrations successives + conditions limites,
on trouve :
#– v = (v 0 cos a) ·
#–
i + (−gt + v 0 sin a) ·
#–
j
#– r = (v 0 t cos a) ·
#–
i
+
−
1
2
gt
2 + v 0 t sin a + h
·
#–
j
Quand le projectile touche le sol, on a y = 0, soit
−
1
2
gt
2 + v 0 t sin a + h = 0
La résolution de cette équation du second degré
donne :
t 1 =
v 0 sin a −
v 2
0 (sin a) 2 + 2gh
g
, t 1 < 0
impossible
t 2 =
v 0 sin a +
v 2
0 (sin a) 2 + 2gh
g
; on trouve :
t 2 = 4,73 s
La distance d correspond au temps t 2 : donc,
d = 47,3 m.
La vitesse du projectile touchant le sol correspond
au temps t 2 : v = 31,6 m · s
–1 .
d) On écrit : t =
x
v 0 cos a
, et on remplace t dans
l’expression de y. On obtient alors l’équation de
la trajectoire :
y =
g
2v 2
0 (cos a) 2
x
2 + (tan a)x + h
2.2 a) On a d’après le PFD à l’équilibre :
#–
P +
#–
R N +
#–
T = m · #– a =
#–
0
En projetant sur un axe parallèle au plan incliné
et dans le sens descendant de la pente, on obtient :
mg sin a − kx e = 0 soit x e =
mg sin a
k
b) D’après le PFD, on a :
#–
P +
#–
R N +
#–
T = m · #– a ;
en projetant comme dans le a), on a :
mg sin a − kx = m
••
x soit l’équation différentielle
suivante :
••
x +
k
m
x = g sin a
La solution de l’équation sans second membre
est : x 1 = A cos
k
m
t + f
Une solution particulière est obtenue en
posant x = cste soit
••
x = 0.
On a alors : x 2 = x e =
mg sin a
k
La solution générale est :
x = x 1 + x 2
x = A cos
k
m
t + f
+
mg sin a
k
Avec les conditions limites : à t = 0, x = x e - x 0 et
•
x(0) = 0
Alors l’équation horaire est :
x = x 0 cos
k
m
t + p
+
mg sin a
k
2.3 a) D’après le PFD, on a :
#–
P +
#–
F = m · #– a et
en projetant suivant un axe OZ vertical pointant
vers le haut, on obtient : −mg + F = −ma soit
F = 663 N (m = 85 kg).
b) D’après le PFD, on a :
#–
P +
#–
T = m · #– a et
en projetant suivant un axe OZ vertical pointant
vers le haut, on obtient : −mg + T = −ma soit
F = 624 N (m = 80 kg).
2.4 a) À l’équilibre, on a :
#–
P +
#–
R =
#–
0 ; en
projetant sur un axe parallèle à la pente et suivant le sens descendant de la pente, on obtient :
mg sin a − R T = 0 ; en projetant sur un axe
perpendiculaire à la pente (dirigé vers le haut)
on obtient : −mg cos a + R N = 0. Donc on a
R T = R N tan a.
On a équilibre tant que R T m S R N , donc tant
que tan a m S , donc angle limite a 0 = 16,7
¢
.
b) Ici a > a 0 , donc le corps glisse sauf si une
force
#–
f est exercée dans le sens opposé au mouvement descendant. On écrit le PFD :
#–
P +
#–
R +
#–
f =
#–
0 , soit en projetant suivant les axes précédents :
mg sin a − R T − f = 0 et −mg cos a + R N = 0,
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 592 — #602
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Chapitre 2
2.1 a) , b). et c) Poids appliqué au projectile +
PFD :
#–
P = m · #– g = m · #– a , donc #– a = #– g . Donc
par intégrations successives + conditions limites,
on trouve :
#– v = (v 0 cos a) ·
#–
i + (−gt + v 0 sin a) ·
#–
j
#– r = (v 0 t cos a) ·
#–
i
+
−
1
2
gt
2 + v 0 t sin a + h
·
#–
j
Quand le projectile touche le sol, on a y = 0, soit
−
1
2
gt
2 + v 0 t sin a + h = 0
La résolution de cette équation du second degré
donne :
t 1 =
v 0 sin a −
v 2
0 (sin a) 2 + 2gh
g
, t 1 < 0
impossible
t 2 =
v 0 sin a +
v 2
0 (sin a) 2 + 2gh
g
; on trouve :
t 2 = 4,73 s
La distance d correspond au temps t 2 : donc,
d = 47,3 m.
La vitesse du projectile touchant le sol correspond
au temps t 2 : v = 31,6 m · s
–1 .
d) On écrit : t =
x
v 0 cos a
, et on remplace t dans
l’expression de y. On obtient alors l’équation de
la trajectoire :
y =
g
2v 2
0 (cos a) 2
x
2 + (tan a)x + h
2.2 a) On a d’après le PFD à l’équilibre :
#–
P +
#–
R N +
#–
T = m · #– a =
#–
0
En projetant sur un axe parallèle au plan incliné
et dans le sens descendant de la pente, on obtient :
mg sin a − kx e = 0 soit x e =
mg sin a
k
b) D’après le PFD, on a :
#–
P +
#–
R N +
#–
T = m · #– a ;
en projetant comme dans le a), on a :
mg sin a − kx = m
••
x soit l’équation différentielle
suivante :
••
x +
k
m
x = g sin a
La solution de l’équation sans second membre
est : x 1 = A cos
k
m
t + f
Une solution particulière est obtenue en
posant x = cste soit
••
x = 0.
On a alors : x 2 = x e =
mg sin a
k
La solution générale est :
x = x 1 + x 2
x = A cos
k
m
t + f
+
mg sin a
k
Avec les conditions limites : à t = 0, x = x e - x 0 et
•
x(0) = 0
Alors l’équation horaire est :
x = x 0 cos
k
m
t + p
+
mg sin a
k
2.3 a) D’après le PFD, on a :
#–
P +
#–
F = m · #– a et
en projetant suivant un axe OZ vertical pointant
vers le haut, on obtient : −mg + F = −ma soit
F = 663 N (m = 85 kg).
b) D’après le PFD, on a :
#–
P +
#–
T = m · #– a et
en projetant suivant un axe OZ vertical pointant
vers le haut, on obtient : −mg + T = −ma soit
F = 624 N (m = 80 kg).
2.4 a) À l’équilibre, on a :
#–
P +
#–
R =
#–
0 ; en
projetant sur un axe parallèle à la pente et suivant le sens descendant de la pente, on obtient :
mg sin a − R T = 0 ; en projetant sur un axe
perpendiculaire à la pente (dirigé vers le haut)
on obtient : −mg cos a + R N = 0. Donc on a
R T = R N tan a.
On a équilibre tant que R T m S R N , donc tant
que tan a m S , donc angle limite a 0 = 16,7
¢
.
b) Ici a > a 0 , donc le corps glisse sauf si une
force
#–
f est exercée dans le sens opposé au mouvement descendant. On écrit le PFD :
#–
P +
#–
R +
#–
f =
#–
0 , soit en projetant suivant les axes précédents :
mg sin a − R T − f = 0 et −mg cos a + R N = 0,
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