SOLUTIONS DES EXERCICES
Chapitre 1
1.1 a) On a la relation : x
2 + y
2 = a
2 avec z
qui augmente en fonction de u. La trajectoire est
une hélice. Le pas p correspond à z quand u = 2p,
donc p = 2ph.
b)
# –
O M = r · #– u r + z · #– u z et #– v = a
•
u · #– u u + h
•
u · #– u z
(NB : r = constante,
•
r = 0)
#– a = −a
•
u
2
· #– u r + a
••
u · #– u u + h
••
u · #– u z (NB :
•
#– u u = −
•
u · #– u r ). La vitesse est constante lorsque
•
u est constante.
c) #– v est dans le plan ( #– u u , #– u z ) et est perpendiculaire à #– u r . Si a est l’angle entre #– v et #– u u , alors on
a : tan a =
h
•
u
a
•
u
=
h
a
donc l’angle a est constant.
d) u = vt donc
•
u = v et
••
u = 0
On a alors #– v = v ·
√
a 2 + h 2 = cste ;
#– a = −av
2 · #– u r donc #– a = av
2 = cste.
1.2 a) On a : #– u r =
•
u· #– u u , #– u u = −
•
u· #– u r ,
••
r = 2a,
•
r = 2at,
••
u = 0,
•
u = v.
Donc : #– v = 2at · #– u r + avt
2 · #– u u
et #– a =
2a − av
2 t
2
· #– u r + (4avt) · #– u u
b) r (u) =
a
v 2
· u
2 (équation d’une spirale)
1.3 a) et b) v(t) = −3t
2 + 6t − 2 et a(t) =
−6t + 6
c)
t
0
0
-¥
+¥
a(t)
v(t)
-2
3
1- 3
Ö
+
Ö3
1+ 3
0
1
1
0
-
d) Entre 0 et 1−
√
3
3
, décélération ; entre 1−
√
3
3
et 1, accélération ; entre 1 et 1 +
√
3
3
, décélération ; entre 1 +
√
3
3
et +∞, accélération.
1.4 En chute libre, on a : y − y 0 =
1
2
gt
2 donc
t chute = 0,99 s.
Donc, la distance horizontale parcourue pendant
ce temps est :
x − x 0 = v 0 t = 4,45 m, distance inférieure à
6,2 mètres.
Donc le cascadeur ne peut réaliser ce saut !
1.5 a) On a : x H =
x S
2
et y H =
y M
2
; d’après
Pythagore, on a : x
2
H + y
2
H = a
2
L’homme décrit donc un cercle de centre O (origine du repère) et de rayon a.
b) On a : y
2
H = a
2 − x
2
H donc,
•
y H =
−x H
•
x H
a 2 − x 2
H
Ainsi on a : #– v H = x H ·
#–
i + y H ·
#–
j et donc
#– v H
2 =
•
x
2
H +
•
y
2
H
On obtient donc :
#– v H =
a
•
x H
a 2 − x 2
H
c) Si on pose a =
2
3
, on obtient alors :
x
2
H
(1 − a) 2 +
y
2
H
a 2 = 4a
2
C’est l’équation d’une ellipse de centre O, de
demi-axe 2a(1 – a) suivant x et demi-axe 2aa
suivant y.
1.6 a) et b) On a : #– v = R
•
u · #– u u et #– v =
#–
v ∧
# –
O M avec le vecteur rotation #–
v = v · #– u z .
c) On a de même :
#– a = −R
•
u · #– u r + R
••
u · #– u u
d) Quand le mouvement est circulaire et uniforme, on a :
••
u = 0,
•
u = v. Donc :
#– a = −R
•
u · #– u r = −Rv · #– u r .
L’accélération est centripète.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 591 — #601
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