SOLUTIONS DES EXERCICES
donc la plus petite force est :
f = mg(sin a − m S cos a) = 35,5 N.
c) Même méthode qu’à la question b), avec
#–
R T
orientée cette fois dans le sens descendant de la
pente (car opposée au mouvement ascendant), et
coefficient de frottement dynamique utilisé ici.
Donc, on obtient la force f suffisante pour avoir
mouvement rectiligne uniforme ascendant sur la
pente : f = mg(sin a + m D cos a) = 78,6 N.
2.5 a) D’après l’équilibre de la caisse A avec la
masse C dessus, on a :
#–
P A+C +
#–
T A +
#–
R N +
#–
f =
#–
0
(où
#–
f est la force de frottement de la caisse A sur
la table) ; soit en projetant respectivement suivant
un axe parallèle à la table et dirigé vers la droite
et un axe perpendiculaire à la table et dirigé vers
le haut : T A − f = 0 et −(m A + m C )g + R N = 0.
De part et d’autre de la poulie, la force de tension
de la corde se transmet ; on a donc :
T A = T B = T
D’après l’équilibre de la masse B, on a :
#–
P B +
#–
T B =
#–
0 , soit en projetant sur un axe vertical
dirigé vers le haut : −m B g + T B = 0.
On arrive alors aux expressions suivantes :
f = T = m B g et R N = (m A + m C )g
Or l’équilibre sera maintenu tant que f m S R N ,
donc pour m c 6,7 kg.
b) En appliquant le PFD pour la caisse A et la
masse B respectivement, on obtient :
#–
P A +
#–
T A +
#–
R N +
#–
f = m A · #– a A et
#–
P B +
#–
T B = m B · #– a B .
On note que la poulie transmet les tensions de
cordes et les intensités des accélérations, donc on
peut écrire : T A = T B = T et a A = a B = a.
En effectuant les mêmes projections qu’à la question a), on obtient :
T − m B g = −m B a
T − f = T − m D R N = m A a ; R N − m A g = 0
On obtient alors :
a =
(m B − m D m A ) g
(m A + m B )
= 2,61 m.s
−2
et T =
m A m B g(1 + m D )
(m A + m B )
= 35,9 N
2.6 a) On applique le PFD sur la gouttelette A :
#–
P +
#–
F = m · #– a . On projette cette relation sur un
axe OZ vertical (dirigé vers le haut) : dans ce cas
les vecteurs accélération et vitesse sont dirigés
vers le bas (sens de la chute). Donc, on obtient :
−m ·
dV
dt
= −mg + 6pmr V
soit
dV
dt
+
6pmr
m
V = g
L’équation sans second membre a pour solution :
V 1 = A · exp
−6pmr
m
t
Une solution particulière est : V 2 =
mg
6pmr
La solution générale est donc :
V = V 1 + V 2 = A · exp
−6pmr
m
t
+
mg
6pmr
Avec les conditions limites : à t = 0, V(0) = 0, on
arrive à l’expression suivante :
V =
mg
6pmr
1 − exp
−6pmr
m
t
b) Quand t tend vers +∞, le terme exponentiel tend vers zéro, donc la vitesse tend vers une
valeur limite V 0 =
mg
6pmr
.
2.7 a) On a :
dE p (x)
dx
=
Aax
2 (x − a)(3a − x)
x 6
,
donc
dE p (x)
dx
est du signe de (x − a)(3a − x). On
a le tableau de variation suivant :
t
0
+¥
x a
-
d
( )
E x
p
d x
0
E (x)
p
croissant
+¥
+
+
+
-
+
-
décroissant
a
0
0
+
-
-
décroissant 0
3a
0
0
3a x
-
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©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
593
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 593 — #603
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donc la plus petite force est :
f = mg(sin a − m S cos a) = 35,5 N.
c) Même méthode qu’à la question b), avec
#–
R T
orientée cette fois dans le sens descendant de la
pente (car opposée au mouvement ascendant), et
coefficient de frottement dynamique utilisé ici.
Donc, on obtient la force f suffisante pour avoir
mouvement rectiligne uniforme ascendant sur la
pente : f = mg(sin a + m D cos a) = 78,6 N.
2.5 a) D’après l’équilibre de la caisse A avec la
masse C dessus, on a :
#–
P A+C +
#–
T A +
#–
R N +
#–
f =
#–
0
(où
#–
f est la force de frottement de la caisse A sur
la table) ; soit en projetant respectivement suivant
un axe parallèle à la table et dirigé vers la droite
et un axe perpendiculaire à la table et dirigé vers
le haut : T A − f = 0 et −(m A + m C )g + R N = 0.
De part et d’autre de la poulie, la force de tension
de la corde se transmet ; on a donc :
T A = T B = T
D’après l’équilibre de la masse B, on a :
#–
P B +
#–
T B =
#–
0 , soit en projetant sur un axe vertical
dirigé vers le haut : −m B g + T B = 0.
On arrive alors aux expressions suivantes :
f = T = m B g et R N = (m A + m C )g
Or l’équilibre sera maintenu tant que f m S R N ,
donc pour m c 6,7 kg.
b) En appliquant le PFD pour la caisse A et la
masse B respectivement, on obtient :
#–
P A +
#–
T A +
#–
R N +
#–
f = m A · #– a A et
#–
P B +
#–
T B = m B · #– a B .
On note que la poulie transmet les tensions de
cordes et les intensités des accélérations, donc on
peut écrire : T A = T B = T et a A = a B = a.
En effectuant les mêmes projections qu’à la question a), on obtient :
T − m B g = −m B a
T − f = T − m D R N = m A a ; R N − m A g = 0
On obtient alors :
a =
(m B − m D m A ) g
(m A + m B )
= 2,61 m.s
−2
et T =
m A m B g(1 + m D )
(m A + m B )
= 35,9 N
2.6 a) On applique le PFD sur la gouttelette A :
#–
P +
#–
F = m · #– a . On projette cette relation sur un
axe OZ vertical (dirigé vers le haut) : dans ce cas
les vecteurs accélération et vitesse sont dirigés
vers le bas (sens de la chute). Donc, on obtient :
−m ·
dV
dt
= −mg + 6pmr V
soit
dV
dt
+
6pmr
m
V = g
L’équation sans second membre a pour solution :
V 1 = A · exp
−6pmr
m
t
Une solution particulière est : V 2 =
mg
6pmr
La solution générale est donc :
V = V 1 + V 2 = A · exp
−6pmr
m
t
+
mg
6pmr
Avec les conditions limites : à t = 0, V(0) = 0, on
arrive à l’expression suivante :
V =
mg
6pmr
1 − exp
−6pmr
m
t
b) Quand t tend vers +∞, le terme exponentiel tend vers zéro, donc la vitesse tend vers une
valeur limite V 0 =
mg
6pmr
.
2.7 a) On a :
dE p (x)
dx
=
Aax
2 (x − a)(3a − x)
x 6
,
donc
dE p (x)
dx
est du signe de (x − a)(3a − x). On
a le tableau de variation suivant :
t
0
+¥
x a
-
d
( )
E x
p
d x
0
E (x)
p
croissant
+¥
+
+
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décroissant 0
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