SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL
Partie VI.
On en déduit la f.é.m e induite entre les deux extrémités du câble :
e = E m · L = v · B T · L = 4,6 kV
2.2 La puissance électrique produite vaut : p = e · I = 2,3 kW
2.3 La force de Laplace agissant sur le câble s’écrit :
•
#–
F = I ·
#–
L ∧
#–
B T où le vecteur I ·
#–
L indique le sens du courant, c’est-à-dire ici le sens
du champ électromoteur.
•
#–
F = −I · L · B T · #– u u soit numériquement F = 0,3 N.
Il en résulte que la force de Laplace est en sens contraire du vecteur vitesse et
freine la navette (conformément à la loi de Lenz) ; l’énergie potentielle de pesanteur est
transformée peu à peu en énergie électrique.
PARTIE VI.
1. Alimentation électrique d’un satellite artificielle
1.1 h F S = P 0 ⇒ S =
P 0
h F
≈ 0,71 m
2 .
Chaque photon a l’énergie h·n ; l’onde, de fréquence n, transporte F / ( h·n ) photons
par unité de temps et de surface.
Chaque photon cède sa quantité de mouvement h / l au panneau ; la pression est la
quantité de mouvement reçue par unité de surface de la paroi et par unité de temps :
√ =
F
h·n
·
h
l
=
F
l·n
=
F
c
≈ 0, 47·10
−5 Pa ⇒ F =
F·S
c
=
P 0
h·c
≈ 0, 33·10
−5 N.
1.2 Chaque désintégration Pu
238
94
→
U
234
92
+ He
4
2
libère l’énergie
Q = (M Pu − M U − M a )·c
2 ≈ 0,006004 × 931,49 MeV ≈ 5,59 MeV ≈ 8,94·10
−13 J.
Un échantillon de N 0 noyaux Pu subit l · N 0 désintégrations par unité de temps et
libère la puissance l · N · Q, dont h R ·l·N 0 ·Q = P 0 convertie en énergie électrique.
Chaque noyau Pu étant dans le groupement PuO 2 de masse molaire M PuO2 = M Pu +
2·M O ≈ 270 g : m 0 = N 0 ·M PuO2 / N A .
P 0 =
h R ·l·Q·m 0 ·N A
M PuO2
avec l =
ln(2)
T
⇒ m 0 =
M PuO2 ·T ·P 0
N A ·ln(2)·h R ·Q
≈ 5, 0 kg.
Évolution du nombre N de noyaux Pu et du nombre l · N de désintégrations par unité
de temps, auquel la puissance P est proportionnelle : N = N 0 ·exp( − l·t) et
l·N = l·N 0 ·exp( − l·t) ⇒ P = P 0 ·exp( − l·t) ⇒ t = T ·
ln(P 0 / P)
ln(2)
≈ 51,5 ans.
588
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 588 — #598
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On en déduit la f.é.m e induite entre les deux extrémités du câble :
e = E m · L = v · B T · L = 4,6 kV
2.2 La puissance électrique produite vaut : p = e · I = 2,3 kW
2.3 La force de Laplace agissant sur le câble s’écrit :
•
#–
F = I ·
#–
L ∧
#–
B T où le vecteur I ·
#–
L indique le sens du courant, c’est-à-dire ici le sens
du champ électromoteur.
•
#–
F = −I · L · B T · #– u u soit numériquement F = 0,3 N.
Il en résulte que la force de Laplace est en sens contraire du vecteur vitesse et
freine la navette (conformément à la loi de Lenz) ; l’énergie potentielle de pesanteur est
transformée peu à peu en énergie électrique.
PARTIE VI.
1. Alimentation électrique d’un satellite artificielle
1.1 h F S = P 0 ⇒ S =
P 0
h F
≈ 0,71 m
2 .
Chaque photon a l’énergie h·n ; l’onde, de fréquence n, transporte F / ( h·n ) photons
par unité de temps et de surface.
Chaque photon cède sa quantité de mouvement h / l au panneau ; la pression est la
quantité de mouvement reçue par unité de surface de la paroi et par unité de temps :
√ =
F
h·n
·
h
l
=
F
l·n
=
F
c
≈ 0, 47·10
−5 Pa ⇒ F =
F·S
c
=
P 0
h·c
≈ 0, 33·10
−5 N.
1.2 Chaque désintégration Pu
238
94
→
U
234
92
+ He
4
2
libère l’énergie
Q = (M Pu − M U − M a )·c
2 ≈ 0,006004 × 931,49 MeV ≈ 5,59 MeV ≈ 8,94·10
−13 J.
Un échantillon de N 0 noyaux Pu subit l · N 0 désintégrations par unité de temps et
libère la puissance l · N · Q, dont h R ·l·N 0 ·Q = P 0 convertie en énergie électrique.
Chaque noyau Pu étant dans le groupement PuO 2 de masse molaire M PuO2 = M Pu +
2·M O ≈ 270 g : m 0 = N 0 ·M PuO2 / N A .
P 0 =
h R ·l·Q·m 0 ·N A
M PuO2
avec l =
ln(2)
T
⇒ m 0 =
M PuO2 ·T ·P 0
N A ·ln(2)·h R ·Q
≈ 5, 0 kg.
Évolution du nombre N de noyaux Pu et du nombre l · N de désintégrations par unité
de temps, auquel la puissance P est proportionnelle : N = N 0 ·exp( − l·t) et
l·N = l·N 0 ·exp( − l·t) ⇒ P = P 0 ·exp( − l·t) ⇒ t = T ·
ln(P 0 / P)
ln(2)
≈ 51,5 ans.
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