SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL
PARTIE V.
1. Modèle électrique simple du système Terre-atmosphère
1.1 a) Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée
est égal au
quotient des charges intérieures à la surface
par la permittivité du vide ´ 0 .
b) La distribution de charge étant à symétrie sphérique, elle est invariante par rotation d’angle u et par rotation d’angle w (en coordonnées sphériques) ; par conséquent,
le champ électrostatique
#–
E (z) et le potentiel V(z) électrostatique en un point M ne
dépendent que de l’altitude z de ce point au-dessus de la surface de la Terre; les lignes
de champ étant normales aux surfaces équipotentielles (ici des sphères de centre O),
le champ
#–
E (z) est ici radial. On choisira donc comme surface de Gauss une sphère de
centre O et de rayon (R + z) avec 0 < z < H.
Le flux du champ électrostatique à travers cette surface s’écrit :
F =
S
E(z) · dS = E(z) · 4p(R + z)
2 = −
Q
´ 0
On en déduit le champ électrostatique :
E(z) = −
Q
4p (R + z) 2
1.2 a) La différence de potentiel entre les deux sphères équipotentielles V(z = R) = 0 et
V(z = R + H) = V H s’écrit : V H – 0 =
H
0
−E(z) · dz
V H = −
Q
4p´ 0 (R + H )
+
Q
4p´ 0 R
1.2 b) On en déduit la capacité du condensateur ainsi formé :
C =
Q
V H
=
4p´ 0 R(R + H )
H
2. Câble lancé depuis la navette spatiale Columbia
2.1 Le champ magnétique terrestre est considéré ici approximativement dirigé selon
l’axe des pôles géographiques, il est donc perpendiculaire au plan équatorial dans lequel
la navette décrit une orbite circulaire ; la vitesse est tangente à la trajectoire (suivant #– u u
en coordonnées polaires) et le champ électromoteur est donc dans la direction du câble
(radiale par rapport à la Terre) :
#–
E m = #– v ∧
#–
B T = v · #– u u ∧ (−B T · #– u z ) = −v · B T · #– u r
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
587
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 587 — #597
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PARTIE V.
1. Modèle électrique simple du système Terre-atmosphère
1.1 a) Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée
est égal au
quotient des charges intérieures à la surface
par la permittivité du vide ´ 0 .
b) La distribution de charge étant à symétrie sphérique, elle est invariante par rotation d’angle u et par rotation d’angle w (en coordonnées sphériques) ; par conséquent,
le champ électrostatique
#–
E (z) et le potentiel V(z) électrostatique en un point M ne
dépendent que de l’altitude z de ce point au-dessus de la surface de la Terre; les lignes
de champ étant normales aux surfaces équipotentielles (ici des sphères de centre O),
le champ
#–
E (z) est ici radial. On choisira donc comme surface de Gauss une sphère de
centre O et de rayon (R + z) avec 0 < z < H.
Le flux du champ électrostatique à travers cette surface s’écrit :
F =
S
E(z) · dS = E(z) · 4p(R + z)
2 = −
Q
´ 0
On en déduit le champ électrostatique :
E(z) = −
Q
4p (R + z) 2
1.2 a) La différence de potentiel entre les deux sphères équipotentielles V(z = R) = 0 et
V(z = R + H) = V H s’écrit : V H – 0 =
H
0
−E(z) · dz
V H = −
Q
4p´ 0 (R + H )
+
Q
4p´ 0 R
1.2 b) On en déduit la capacité du condensateur ainsi formé :
C =
Q
V H
=
4p´ 0 R(R + H )
H
2. Câble lancé depuis la navette spatiale Columbia
2.1 Le champ magnétique terrestre est considéré ici approximativement dirigé selon
l’axe des pôles géographiques, il est donc perpendiculaire au plan équatorial dans lequel
la navette décrit une orbite circulaire ; la vitesse est tangente à la trajectoire (suivant #– u u
en coordonnées polaires) et le champ électromoteur est donc dans la direction du câble
(radiale par rapport à la Terre) :
#–
E m = #– v ∧
#–
B T = v · #– u u ∧ (−B T · #– u z ) = −v · B T · #– u r
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