SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL
Partie IV
c) Pour x = 0, S P ′ = R/2 < 0. On retrouve la distance focale d’un miroir sphérique
concave dans les conditions de Gauss, où R représente le rayon de courbure algébrique
du miroir.
4. a) On a z
(s) ≈ R − R(1 −
x
2
2R 2 +
1
2
1
2
− 1
x
4
2R 4 ) ≈
x
2
2R
+
x
4
8R 3 ≈
x
2
4 f 1
+
x
4
64 f
3
1
.
b) Par rapport à un miroir parabolique de distance focale f 1 , un rayon se réfléchissant
au point I(x, z) sur un miroir sphérique de focale f 1 parcourra un chemin optique plus
court de ≈ 2
z
(s) − z
( p)
où le facteur 2 traduit l’aller-retour dû à la réflexion de la
lumière sur le miroir.
c) L’épaisseur de lame traversée par un rayon arrivant sur le miroir en x est T(x) – T(0),
le chemin optique parcouru dans la lame est n(T(x) – T(0)). La différence de chemin
optique introduite par la lame par rapport au cas où elle n’est pas présente est donc
(n – 1) (T(x) – T(0)). Le terme (n-1) traduit donc le fait que l’on ôte au trajet du rayon
dans l’air la partie correspondant au passage dans la lame (– (T(x) – T(0)) et qu’on la
remplace par le chemin optique effectué dans la lame (n(T(x) – T(0)).
d) On a T (x) − T (0) = 2
z
(s) − z
( p)
=
x
4
32(n − 1) f
3
1
.
A.N. : |T (x) − T (0)| max = 0,0036 cm.
5. Le nouveau profil est z
′( p) =
x
4
4 f 2
.
On a alors (n − 1) · [T (x) − T (0)] = 2
x
2
4 f 1
+
x
4
64 f
3
1
−
x
2
4 f 2
, soit, après calculs,
l’expression proposée.
0.004
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0 −20 −15 −10 −5 0
x
|T(x)-T(0)|
|T(x)-T(0)|
5 10 15 20
0 −20 −15 −10 −5 0
x
5 10 15 20
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.00041
0.0002
Figure 12
À gauche : profil de la question 4c). À droite : profil de la question 4d).
586
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 586 — #596
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Partie IV
c) Pour x = 0, S P ′ = R/2 < 0. On retrouve la distance focale d’un miroir sphérique
concave dans les conditions de Gauss, où R représente le rayon de courbure algébrique
du miroir.
4. a) On a z
(s) ≈ R − R(1 −
x
2
2R 2 +
1
2
1
2
− 1
x
4
2R 4 ) ≈
x
2
2R
+
x
4
8R 3 ≈
x
2
4 f 1
+
x
4
64 f
3
1
.
b) Par rapport à un miroir parabolique de distance focale f 1 , un rayon se réfléchissant
au point I(x, z) sur un miroir sphérique de focale f 1 parcourra un chemin optique plus
court de ≈ 2
z
(s) − z
( p)
où le facteur 2 traduit l’aller-retour dû à la réflexion de la
lumière sur le miroir.
c) L’épaisseur de lame traversée par un rayon arrivant sur le miroir en x est T(x) – T(0),
le chemin optique parcouru dans la lame est n(T(x) – T(0)). La différence de chemin
optique introduite par la lame par rapport au cas où elle n’est pas présente est donc
(n – 1) (T(x) – T(0)). Le terme (n-1) traduit donc le fait que l’on ôte au trajet du rayon
dans l’air la partie correspondant au passage dans la lame (– (T(x) – T(0)) et qu’on la
remplace par le chemin optique effectué dans la lame (n(T(x) – T(0)).
d) On a T (x) − T (0) = 2
z
(s) − z
( p)
=
x
4
32(n − 1) f
3
1
.
A.N. : |T (x) − T (0)| max = 0,0036 cm.
5. Le nouveau profil est z
′( p) =
x
4
4 f 2
.
On a alors (n − 1) · [T (x) − T (0)] = 2
x
2
4 f 1
+
x
4
64 f
3
1
−
x
2
4 f 2
, soit, après calculs,
l’expression proposée.
0.004
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0 −20 −15 −10 −5 0
x
|T(x)-T(0)|
|T(x)-T(0)|
5 10 15 20
0 −20 −15 −10 −5 0
x
5 10 15 20
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.00041
0.0002
Figure 12
À gauche : profil de la question 4c). À droite : profil de la question 4d).
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