SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL
PARTIE IV.
1. a) Calcul de S P ′ : d’après la relation de Chasles, on a S P ′ = S H + H P ′ où H est le
projeté orthogonal de I sur l’axe du miroir (figure 6). Or
S H = z et H P ′ =
I H
tan 2a
=
I H
2 tan a
1 − tan
2 a
,
d’où
S P ′ = z −
x
2 tan a
1 − tan
2 a
.
b) On a
#–
T =
1
1 +
dz
dx
2
·
1
dz
dx
.
Avec l’orientation de
#–
N choisie sur la figure 6, la relation
#–
T .
#–
N = 0 impose
#–
N =
1
1 +
dz
dx
2
·
−
dz
dx
1
.
On a alors tan a =
x #–
N
z #–
N
= −
dz
dx
. L’expression de S P ′ découle du résultat de la
question 1a) et de cette expression de tan a.
2. a) f 1 a la dimension d’une longueur car z et x sont des longueurs. Cette grandeur est
négative car z
(p) est négatif (figure 6).
b)
dz
( p)
dx
=
x
2 f 1
et S P ′ =
x
2
4 f 1
+ f 1 −
x
2
4 f 1
= f 1 . Ce résultat ne dépend pas de x : tout
rayon arrivant parallèlement à l’axe optique d’un miroir parabolique converge après
réflexion en un unique point P’. Le miroir parabolique est rigoureusement stigmatique
pour un point à l’infini sur l’axe : il ne présente pas d’aberration de sphéricité.
c) f 1 est la distance focale du miroir parabolique (P’ est le conjugué d’un point P à
l’infini sur l’axe).
3. a) R a la dimension d’une longueur car x et z sont des longueurs. R est négatif car z
(s)
est négatif (figure 6).
b)
dz
(s)
dx
=
x
√
R 2 − x 2
et S P ′ = R −
R
2
2
√
R 2 − x 2
. Ce résultat dépend de x : les rayons
arrivant parallèlement à l’axe optique d’un miroir sphérique ne convergent pas en un
point unique de l’axe après réflexion sur le miroir, mais en des points dont la distance
au sommet dépend de x. Le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour
un point à l’infini sur l’axe : il présente une aberration de sphéricité.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
585
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 585 — #595
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PARTIE IV.
1. a) Calcul de S P ′ : d’après la relation de Chasles, on a S P ′ = S H + H P ′ où H est le
projeté orthogonal de I sur l’axe du miroir (figure 6). Or
S H = z et H P ′ =
I H
tan 2a
=
I H
2 tan a
1 − tan
2 a
,
d’où
S P ′ = z −
x
2 tan a
1 − tan
2 a
.
b) On a
#–
T =
1
1 +
dz
dx
2
·
1
dz
dx
.
Avec l’orientation de
#–
N choisie sur la figure 6, la relation
#–
T .
#–
N = 0 impose
#–
N =
1
1 +
dz
dx
2
·
−
dz
dx
1
.
On a alors tan a =
x #–
N
z #–
N
= −
dz
dx
. L’expression de S P ′ découle du résultat de la
question 1a) et de cette expression de tan a.
2. a) f 1 a la dimension d’une longueur car z et x sont des longueurs. Cette grandeur est
négative car z
(p) est négatif (figure 6).
b)
dz
( p)
dx
=
x
2 f 1
et S P ′ =
x
2
4 f 1
+ f 1 −
x
2
4 f 1
= f 1 . Ce résultat ne dépend pas de x : tout
rayon arrivant parallèlement à l’axe optique d’un miroir parabolique converge après
réflexion en un unique point P’. Le miroir parabolique est rigoureusement stigmatique
pour un point à l’infini sur l’axe : il ne présente pas d’aberration de sphéricité.
c) f 1 est la distance focale du miroir parabolique (P’ est le conjugué d’un point P à
l’infini sur l’axe).
3. a) R a la dimension d’une longueur car x et z sont des longueurs. R est négatif car z
(s)
est négatif (figure 6).
b)
dz
(s)
dx
=
x
√
R 2 − x 2
et S P ′ = R −
R
2
2
√
R 2 − x 2
. Ce résultat dépend de x : les rayons
arrivant parallèlement à l’axe optique d’un miroir sphérique ne convergent pas en un
point unique de l’axe après réflexion sur le miroir, mais en des points dont la distance
au sommet dépend de x. Le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour
un point à l’infini sur l’axe : il présente une aberration de sphéricité.
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