SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL
moment du départ de la fusée. Quel temps t 2 est nécessaire à la Terre pour atteindre
une telle position par rapport à Mars ?
Pour que la Terre passe de la position A (75,14
◦ en avance sur Mars) à la position B
(75,14
◦ en retard sur Mars), la Terre doit devancer Mars de :
(360
◦ - 2.(75,14
◦ )) = 209,72
◦
Or, on sait que la Terre prend une avance de 360
◦ sur Mars en 2,13353 ans. On peut
donc écrire :
t 2 =
209,72
◦
360 ◦
.(2,13353) = 1,2429 ans, soit 454 jours
b) On peut donc calculer le temps total t nécessaire à un voyage aller et retour de
la Terre à Mars : ce temps correspond à deux fois le temps de transfert d’une moitié
d’ellipse d’Hohmann (soit deux fois le temps t 1 ) auquel s’ajoute le temps d’attente sur
Mars pour que les planètes soient en positions relatives favorables pour un transfert
retour sur une ellipse d’Hohmann (soit le temps t 2 ).
Donc, on peut écrire :
t = 2.t 1 + t 2 = 2.(260 jours) + (454 jours) = 974 jours, soit 2,67 ans
Ce qui fait pour un voyage aller-retour : 2 ans, 8 mois et 14 jours.
PARTIE II.
On remarque tout d’abord que ce problème est plan c’est-à-dire que la cinématique
(le mouvement) se déroule dans le plan contenant l’axe vertical et la direction de vol.
Nous allons évidemment travailler dans ce plan. Les torseurs d’action et cinématiques
n’auront chacun que trois composantes intéressantes.
1. On isole le système 4 + 8. Il est soumis aux actions de 3 en E et de 2 en C. Ces actions
correspondent à des liaisons pivot supposées parfaites. Cette hypothèse, qui correspond
à des liaisons sans frottement, permet de simplifier l’analyse.
Le torseur des actions de 4 + 8 sur 3 est de la forme :
A(4 + 8 → 3)
=
X 43 · #– x + Y 43 · #– y + Z 43 · #– z
L 43 · #– x + M 43 · #– y + N 43 · #– z
E
Nous adoptons les notations classiques avec X , Y et Z les composantes de la résultante et L, M et N celles du moment. L’indice 43 signifie que les efforts sont exercés
par le solide 4 (ou l’ensemble 4 + 8 ici) sur le solide 3.
Le torseur des actions de 2 sur 3 est de la forme :
A(2 → 3)
=
X 23 · #– x + Y 23 · #– y + Z 23 · #– z
L 23 · #– x + M 23 · #– y + N 23 · #– z
C
.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
581
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 581 — #591
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moment du départ de la fusée. Quel temps t 2 est nécessaire à la Terre pour atteindre
une telle position par rapport à Mars ?
Pour que la Terre passe de la position A (75,14
◦ en avance sur Mars) à la position B
(75,14
◦ en retard sur Mars), la Terre doit devancer Mars de :
(360
◦ - 2.(75,14
◦ )) = 209,72
◦
Or, on sait que la Terre prend une avance de 360
◦ sur Mars en 2,13353 ans. On peut
donc écrire :
t 2 =
209,72
◦
360 ◦
.(2,13353) = 1,2429 ans, soit 454 jours
b) On peut donc calculer le temps total t nécessaire à un voyage aller et retour de
la Terre à Mars : ce temps correspond à deux fois le temps de transfert d’une moitié
d’ellipse d’Hohmann (soit deux fois le temps t 1 ) auquel s’ajoute le temps d’attente sur
Mars pour que les planètes soient en positions relatives favorables pour un transfert
retour sur une ellipse d’Hohmann (soit le temps t 2 ).
Donc, on peut écrire :
t = 2.t 1 + t 2 = 2.(260 jours) + (454 jours) = 974 jours, soit 2,67 ans
Ce qui fait pour un voyage aller-retour : 2 ans, 8 mois et 14 jours.
PARTIE II.
On remarque tout d’abord que ce problème est plan c’est-à-dire que la cinématique
(le mouvement) se déroule dans le plan contenant l’axe vertical et la direction de vol.
Nous allons évidemment travailler dans ce plan. Les torseurs d’action et cinématiques
n’auront chacun que trois composantes intéressantes.
1. On isole le système 4 + 8. Il est soumis aux actions de 3 en E et de 2 en C. Ces actions
correspondent à des liaisons pivot supposées parfaites. Cette hypothèse, qui correspond
à des liaisons sans frottement, permet de simplifier l’analyse.
Le torseur des actions de 4 + 8 sur 3 est de la forme :
A(4 + 8 → 3)
=
X 43 · #– x + Y 43 · #– y + Z 43 · #– z
L 43 · #– x + M 43 · #– y + N 43 · #– z
E
Nous adoptons les notations classiques avec X , Y et Z les composantes de la résultante et L, M et N celles du moment. L’indice 43 signifie que les efforts sont exercés
par le solide 4 (ou l’ensemble 4 + 8 ici) sur le solide 3.
Le torseur des actions de 2 sur 3 est de la forme :
A(2 → 3)
=
X 23 · #– x + Y 23 · #– y + Z 23 · #– z
L 23 · #– x + M 23 · #– y + N 23 · #– z
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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