SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL
Partie II
Si on applique le principe fondamental de la statique au système 4 + 8 on peut écrire :
A(4 + 8 → 3)
P
+
A(2 → 3)
P
= {O} ∀P
en un point P à déterminer (le même pour les deux torseurs). Dans ce cas on peut choisir
E ou C. On prend E pour calculer le moment. Il faut donc calculer le moment en E du
torseur des actions de 2 sur 4. On utilise la relation de moment
#–
M(2 → 4, E) =
#–
M(2 → 4, C) +
# –
EC ∧
#–
R(2 → 4) =
# –
EC ∧
#–
R(2 → 4).
On en déduit les deux équations vectorielles de la résultante et du moment :
#–
R(2 → 4) +
#–
R(3 → 4) =
#–
0 ,
et
#–
M(2 → 4, E) +
#–
M(3 → 4, E) =
#–
0 .
Si on réécrit la dernière équation en projection sur #– z (la seule possible) on obtient :
0 +
# –
EC ∧
#–
R(2 → 4)
. #– z = 0.
On en déduit que la seule possibilité (en excluant le cas particulier de résultante nulle)
est que les deux vecteurs soient colinéaires. Donc la résultante de l’effort entre 2 et 4
est portée par EC (il en est de même pour l’effort entre 3 et 4).
La projection de l’équation de la résultante n’a pas d’intérêt particulier sinon de
constater que les deux résultantes sont opposées.
2. On isole le système 5 + 6. Ce système (vérin et tige de vérin) est exactement dans
la même situation que le système précédent. Il est soumis à deux torseurs d’action
en F et D correspondant à des liaisons pivot parfaites. On applique donc le même
raisonnement pour trouver que les deux résultantes
#–
R(3 → 5) et
#–
R(2 → 5) sont
opposées et colinéaires à FD.
3. On isole le solide 3. Ce solide est soumis à trois actions en F, E et D correspondant à
des liaisons pivot parfaites. On a donc dans les torseurs d’actions exprimés aux points F,
E et D les résultantes
#–
R(5 → 3),
#–
R(4 → 3) et
#–
R(1 → 3).
• On applique le PFS au solide 3.
A(4 → 3)
+
A(5 → 3)
+
A(1 → 3)
= 0.
Considérons dans un premier temps les deux premiers torseurs. On choisit comme
point pour le calcul des moments ni F ni E mais le point de concours des supports
des résultantes
#–
R(5 → 3) et
#–
R(4 → 3).
En ce point, par définition les moments seront nuls. On en déduit donc que le moment
des actions de 1 sur 3 doit lui aussi en ce point être nul (équation du moment sur #– z ).
Nous venons de montrer que pour un solide soumis à trois forces coplanaires (issues
de liaisons pivot parfaites par exemple) l’équilibre impose que les trois forces soient
concourantes. Il faut qu’elles vérifient aussi l’équation de la résultante.
582
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 582 — #592
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Partie II
Si on applique le principe fondamental de la statique au système 4 + 8 on peut écrire :
A(4 + 8 → 3)
P
+
A(2 → 3)
P
= {O} ∀P
en un point P à déterminer (le même pour les deux torseurs). Dans ce cas on peut choisir
E ou C. On prend E pour calculer le moment. Il faut donc calculer le moment en E du
torseur des actions de 2 sur 4. On utilise la relation de moment
#–
M(2 → 4, E) =
#–
M(2 → 4, C) +
# –
EC ∧
#–
R(2 → 4) =
# –
EC ∧
#–
R(2 → 4).
On en déduit les deux équations vectorielles de la résultante et du moment :
#–
R(2 → 4) +
#–
R(3 → 4) =
#–
0 ,
et
#–
M(2 → 4, E) +
#–
M(3 → 4, E) =
#–
0 .
Si on réécrit la dernière équation en projection sur #– z (la seule possible) on obtient :
0 +
# –
EC ∧
#–
R(2 → 4)
. #– z = 0.
On en déduit que la seule possibilité (en excluant le cas particulier de résultante nulle)
est que les deux vecteurs soient colinéaires. Donc la résultante de l’effort entre 2 et 4
est portée par EC (il en est de même pour l’effort entre 3 et 4).
La projection de l’équation de la résultante n’a pas d’intérêt particulier sinon de
constater que les deux résultantes sont opposées.
2. On isole le système 5 + 6. Ce système (vérin et tige de vérin) est exactement dans
la même situation que le système précédent. Il est soumis à deux torseurs d’action
en F et D correspondant à des liaisons pivot parfaites. On applique donc le même
raisonnement pour trouver que les deux résultantes
#–
R(3 → 5) et
#–
R(2 → 5) sont
opposées et colinéaires à FD.
3. On isole le solide 3. Ce solide est soumis à trois actions en F, E et D correspondant à
des liaisons pivot parfaites. On a donc dans les torseurs d’actions exprimés aux points F,
E et D les résultantes
#–
R(5 → 3),
#–
R(4 → 3) et
#–
R(1 → 3).
• On applique le PFS au solide 3.
A(4 → 3)
+
A(5 → 3)
+
A(1 → 3)
= 0.
Considérons dans un premier temps les deux premiers torseurs. On choisit comme
point pour le calcul des moments ni F ni E mais le point de concours des supports
des résultantes
#–
R(5 → 3) et
#–
R(4 → 3).
En ce point, par définition les moments seront nuls. On en déduit donc que le moment
des actions de 1 sur 3 doit lui aussi en ce point être nul (équation du moment sur #– z ).
Nous venons de montrer que pour un solide soumis à trois forces coplanaires (issues
de liaisons pivot parfaites par exemple) l’équilibre impose que les trois forces soient
concourantes. Il faut qu’elles vérifient aussi l’équation de la résultante.
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